Страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какие две прямые в пространстве называют параллельными?

2. Какие два отрезка в пространстве называют параллельными?

3. Сформулируйте свойство параллельных прямых в пространстве.

1. Какие две прямые в пространстве называют параллельными?

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Важно отметить оба условия: нахождение в одной плоскости и отсутствие общих точек. В пространстве существуют также скрещивающиеся прямые, которые не пересекаются, но и не лежат в одной плоскости. Если прямая a параллельна прямой b, это обозначается как $a \parallel b$.

Ответ: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Какие два отрезка в пространстве называют параллельными?

Два отрезка в пространстве называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. То есть, если отрезок AB принадлежит прямой a, а отрезок CD принадлежит прямой b, то отрезки AB и CD будут параллельны тогда и только тогда, когда прямые a и b параллельны ($a \parallel b$). Это обозначается как $AB \parallel CD$.

Ответ: Два отрезка в пространстве называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

3. Сформулируйте свойство параллельных прямых в пространстве.

Ключевым свойством параллельных прямых, которое также является аксиомой стереометрии, является следующее утверждение: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Это означает, что для любой прямой a и любой точки M, не принадлежащей прямой a ($M \notin a$), существует одна и только одна прямая b, которая проходит через точку M и параллельна прямой a ($M \in b$ и $b \parallel a$).

Ответ: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

5.1. Известно, что на плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую. Будет ли это утверждение верно для пространства?

Данное утверждение, которое является аксиомой для геометрии на плоскости, неверно для трехмерного пространства.

Обоснование для плоскости (планиметрия): Пусть прямые a и b параллельны ($a \parallel b$) и лежат в одной плоскости $\alpha$. Пусть прямая c, также лежащая в плоскости $\alpha$, пересекает прямую a. Если предположить, что прямая c не пересекает прямую b, то из этого следует, что $c \parallel b$. В таком случае через точку пересечения прямых a и c проходят две разные прямые (a и c), которые обе параллельны прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых Евклида. Следовательно, на плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, обязательно пересекает и вторую.

Анализ для пространства (стереометрия): В пространстве, кроме пересекающихся и параллельных прямых, существуют также скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Именно этот случай служит контрпримером к исходному утверждению.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть в трехмерной декартовой системе координат даны две параллельные прямые:

1. Прямая a, совпадающая с осью абсцисс (Ox).

2. Прямая b, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0, 1, 0). Она может быть задана параметрически как $x=t, y=1, z=0$.

Обе эти прямые лежат в плоскости Oxy ($z=0$) и параллельны друг другу.

Теперь рассмотрим третью прямую, c, которая совпадает с осью ординат (Oy). Прямая c пересекает прямую a (ось Ox) в начале координат, точке (0, 0, 0).

Однако прямая c (ось Oy) не пересекает прямую b. Точки на прямой c имеют координаты $(0, y, 0)$, а точки на прямой b — $(x, 1, 0)$. Чтобы они пересеклись, их координаты должны совпасть. Из $x=0$ (для прямой c) и $y=1$ (для прямой b) получаем точку (0, 1, 0). Эта точка лежит на обеих прямых, значит, в данном примере прямые b и c пересекаются.

Рассмотрим другой контрпример, где прямые будут скрещивающимися. Пусть прямые a и b остаются теми же. Возьмем в качестве прямой c ось аппликат (Oz).

Прямая c (ось Oz) пересекает прямую a (ось Ox) в начале координат (0, 0, 0).

Проверим, пересекаются ли прямые c и b. Любая точка на прямой c имеет координаты $(0, 0, z)$. Любая точка на прямой b имеет координаты $(x, 1, 0)$. Не существует таких значений переменных, при которых эти координаты совпали бы, так как для прямой c координата $y$ всегда равна 0, а для прямой b она всегда равна 1. Следовательно, прямые b и c не пересекаются. Они также не параллельны, так как их направляющие векторы не коллинеарны. Таким образом, прямые b и c являются скрещивающимися.

Этот пример показывает, что в пространстве прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не обязательно пересекает вторую.

Ответ: Нет, это утверждение неверно для пространства.