Страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.10. Сколько пар скрещивающихся ребер имеется у четырехугольной пирамиды?

Для того чтобы определить количество пар скрещивающихся ребер у четырехугольной пирамиды, необходимо проанализировать взаимное расположение ее ребер. Пусть вершины основания пирамиды обозначены как A, B, C, D, а вершина пирамиды — S. У такой пирамиды всего 8 ребер: 4 ребра основания (AB, BC, CD, DA) и 4 боковых ребра (SA, SB, SC, SD).

Скрещивающиеся ребра — это ребра, которые лежат на непересекающихся и непараллельных прямых. Для многогранника это означает, что ребра не должны иметь общих вершин и не должны лежать в одной плоскости.

Рассмотрим три возможных типа пар ребер:

1. Два ребра основания. Любые два ребра основания (например, AB и CD или AB и BC) лежат в одной плоскости — плоскости основания ABCD. Следовательно, они не могут быть скрещивающимися. Они либо пересекаются (если смежные), либо параллельны или пересекаются на продолжении (если противолежащие).

2. Два боковых ребра. Любые два боковых ребра (например, SA и SC) имеют общую вершину S. Следовательно, они пересекаются и не могут быть скрещивающимися.

3. Одно ребро основания и одно боковое ребро. Этот случай является единственным, где могут быть скрещивающиеся ребра. Пара, состоящая из ребра основания и бокового ребра, будет скрещивающейся, если у них нет общей вершины.

Выполним систематический подсчет таких пар:

Возьмем ребро основания AB. Боковые ребра SA и SB имеют с ним общие вершины (A и B соответственно), поэтому они с ним пересекаются. Два других боковых ребра, SC и SD, не имеют общих вершин с ребром AB и не лежат с ним в одной плоскости. Таким образом, с ребром AB скрещиваются два ребра: SC и SD. Это дает 2 пары.

Поскольку основание пирамиды имеет 4 ребра, и рассуждения для каждого из них аналогичны, мы можем найти общее количество пар. Для каждого из 4-х ребер основания существует ровно 2 боковых ребра, которые с ним скрещиваются.

• Для ребра AB скрещивающимися являются SC и SD (2 пары).

• Для ребра BC скрещивающимися являются SA и SD (2 пары).

• Для ребра CD скрещивающимися являются SA и SB (2 пары).

• Для ребра DA скрещивающимися являются SB и SC (2 пары).

Суммируя количество пар для каждого ребра основания, получаем общее количество: $2 + 2 + 2 + 2 = 8$.

Альтернативный способ — комбинаторный. Общее число ребер равно 8. Число всех возможных пар ребер равно числу сочетаний из 8 по 2: $C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ пар. Из них вычтем число пересекающихся и копланарных пар. В вершине S сходятся 4 ребра, образуя $C_4^2=6$ пересекающихся пар. В каждой из 4 вершин основания сходятся по 3 ребра, образуя $C_3^2=3$ пары. Всего в вершинах основания $4 \times 3 = 12$ пар. Общее число пересекающихся пар: $6 + 12 = 18$. Кроме того, есть 2 пары противолежащих ребер основания, которые лежат в одной плоскости, но не пересекаются. Итого нескрещивающихся пар: $18 + 2 = 20$. Число скрещивающихся пар: $28 - 20 = 8$.

Ответ: 8.

6.11. Каково взаимное расположение прямых $EE_1$ и $FF_1$ (рис. 6.9)? Ответ объясните.

На рисунке 6.9 изображена призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По определению призмы, ее боковые ребра параллельны друг другу. В частности, $AA_1 \parallel BB_1$.

Рассмотрим боковую грань $AA_1B_1B$. Эта грань является параллелограммом, поскольку это призма. Следовательно, прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны. Точка $E$ лежит на отрезке $AB$, а точка $E_1$ — на отрезке $A_1B_1$. Из построения на чертеже следует, что отрезок $E_1F_1$ является образом отрезка $EF$ при параллельном переносе, переводящем плоскость основания $ABC$ в плоскость $A_1B_1C_1$. Это означает, что четырехугольник $AA_1E_1E$ является параллелограммом (так как $\vec{AE}$ и $\vec{A_1E_1}$ можно считать равными векторами, если начало векторов в точках $A$ и $A_1$ соответственно, и они лежат на параллельных прямых). Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны, то есть $EE_1 \parallel AA_1$.

Аналогично рассмотрим боковую грань $BB_1C_1C$. Эта грань также является параллелограммом, и прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны. Точка $F$ лежит на $BC$, а $F_1$ на $B_1C_1$. Четырехугольник $BB_1F_1F$ является параллелограммом, из чего следует, что $FF_1 \parallel BB_1$.

Таким образом, мы получили два утверждения:

1. $EE_1 \parallel AA_1$

2. $FF_1 \parallel BB_1$

Поскольку боковые ребра призмы параллельны между собой ($AA_1 \parallel BB_1$), то из этих двух утверждений, по свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, следует, что $EE_1 \parallel FF_1$.

Так как точки $E$ и $F$ лежат на разных ребрах ($AB$ и $BC$), то прямые $EE_1$ и $FF_1$ не совпадают. Следовательно, они являются параллельными прямыми.

Ответ: Прямые $EE_1$ и $FF_1$ параллельны.

6.12. Каково взаимное расположение прямых $EF$ и $GH$ (рис. 6.10)? Ответ объясните.

Для того чтобы определить взаимное расположение прямых EF и GH, необходимо проанализировать их положение относительно плоскостей тетраэдра DABC.

1. Рассмотрим прямую EF. Точка E принадлежит ребру AB, а точка F принадлежит ребру AD. Ребра AB и AD являются пересекающимися прямыми и определяют плоскость грани ABD. Поскольку обе точки E и F прямой EF лежат в плоскости (ABD), то по аксиоме стереометрии вся прямая EF лежит в этой плоскости. Таким образом, $EF \subset (ABD)$.

2. Рассмотрим прямую GH. Точка G принадлежит ребру BC, а точка H принадлежит ребру DC. Ребра BC и DC являются пересекающимися прямыми и определяют плоскость грани BCD. Поскольку обе точки G и H прямой GH лежат в плоскости (BCD), то вся прямая GH лежит в этой плоскости. Таким образом, $GH \subset (BCD)$.

Прямые EF и GH лежат в разных плоскостях: $EF$ в плоскости $(ABD)$, а $GH$ в плоскости $(BCD)$. Две прямые могут быть пересекающимися или параллельными только в том случае, если они лежат в одной плоскости. Чтобы доказать, что они скрещивающиеся, нужно показать, что они не лежат в одной плоскости.

Докажем это от противного. Предположим, что прямые EF и GH лежат в некоторой одной плоскости $\alpha$. Тогда все четыре точки E, F, G, H должны принадлежать этой плоскости $\alpha$.

Поскольку точки E и F лежат в плоскости $\alpha$, а также в плоскости $(ABD)$, то все точки прямой EF лежат в обеих плоскостях. Если мы добавим точку G в эту же плоскость $\alpha$, то нам нужно проверить, может ли точка G лежать в плоскости $(ABD)$.

Точка G лежит на ребре BC. Вершина C не принадлежит плоскости $(ABD)$. Прямая BC пересекает плоскость $(ABD)$ в единственной точке — точке B. Из рисунка видно, что точка G является внутренней точкой отрезка BC (то есть не совпадает с точками B и C). Следовательно, точка G не принадлежит плоскости $(ABD)$.

Так как точка G (которая должна лежать в предполагаемой плоскости $\alpha$) не лежит в плоскости $(ABD)$ (в которой лежат точки E и F), то наше предположение о существовании единой плоскости $\alpha$ для всех четырех точек неверно. Точки E, F, G, H некомпланарны, то есть не лежат в одной плоскости.

По определению, две прямые в пространстве, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Ответ: Прямые EF и GH являются скрещивающимися.

6.13. Пересекаются ли отрезки $EH$ и $FG$ (рис. 6.11)? Ответ объясните.

Рис. 6.11

Отрезки $EH$ и $FG$ не пересекаются, так как прямые, содержащие эти отрезки, являются скрещивающимися. Чтобы доказать это, необходимо показать, что эти прямые не лежат в одной плоскости.

Два отрезка в пространстве могут пересечься только в том случае, если они лежат в одной плоскости. Это означает, что все четыре конечные точки отрезков — $E, F, G, H$ — должны лежать в одной плоскости (быть компланарными). Проверим, выполняется ли это условие для заданных в задаче точек.

Рассмотрим плоскости, в которых лежат пары точек.Точка $E$ лежит на ребре $AB$, а точка $F$ — на ребре $SA$. Обе эти точки принадлежат плоскости грани $(SAB)$. Следовательно, прямая $EF$ целиком лежит в плоскости $(SAB)$.

Аналогично, точка $G$ лежит на ребре $BC$, а точка $H$ — на ребре $SC$. Обе эти точки принадлежат плоскости грани $(SBC)$. Следовательно, прямая $GH$ целиком лежит в плоскости $(SBC)$.

Плоскости граней $(SAB)$ и $(SBC)$ пересекаются по прямой $SB$.

Теперь предположим, что точки $E, F, G, H$ все же лежат в одной плоскости, назовем ее $\alpha$. В этом случае эта плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $(SAB)$ по прямой $EF$, а плоскость $(SBC)$ — по прямой $GH$.

Согласно свойству пересечения трех плоскостей, если две плоскости ($(SAB)$ и $(SBC)$) пересекаются по прямой ($SB$), то третья плоскость ($\alpha$) пересекает их по прямым ($EF$ и $GH$), которые либо параллельны друг другу и прямой $SB$, либо пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $SB$.

Однако в условии задачи точки $E, F, G, H$ выбраны на ребрах пирамиды произвольным образом. В общем случае прямая $EF$ (в плоскости $(SAB)$) и прямая $GH$ (в плоскости $(SBC)$) не пересекаются на ребре $SB$ и не параллельны ему. Следовательно, в общем случае прямые $EF$ и $GH$ являются скрещивающимися.

Из того, что прямые $EF$ и $GH$ скрещиваются, следует, что четыре точки $E, F, G, H$ не лежат в одной плоскости.

Если точки $E, F, G, H$ некомпланарны, то прямые $EH$ и $FG$, которые соединяют эти точки, не могут лежать в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые в пространстве не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Следовательно, отрезки $EH$ и $FG$, лежащие на этих прямых, также не пересекаются.

Ответ: Нет, отрезки $EH$ и $FG$ не пересекаются, так как они лежат на скрещивающихся прямых.

6.14. Возможно ли такое расположение карандашей (рис. 6.12)? Ответ объясните.

Рис. 6.12

Нет, такое расположение карандашей, как показано на рисунке, в реальном трехмерном пространстве невозможно, если карандаши являются прямыми и твердыми телами. Изображение является примером невозможной фигуры, которую можно нарисовать, но нельзя сконструировать.

Объясним, почему это так. Проследим за взаимным расположением карандашей по принципу "сверху-снизу". Для удобства пронумеруем карандаши:

Карандаш 1 — направлен из левого верхнего угла в правый нижний.

Карандаш 2 — направлен из правого верхнего угла в левый нижний.

Карандаш 3 — расположен почти горизонтально.

Анализируя рисунок, мы видим следующую циклическую зависимость:

1. В месте пересечения карандашей 1 и 2, карандаш 2 лежит сверху карандаша 1.

2. В месте пересечения карандашей 2 и 3, карандаш 3 лежит сверху карандаша 2.

3. В месте пересечения карандашей 3 и 1, карандаш 1 лежит сверху карандаша 3.

Теперь переведем это на язык математики. Пусть $H_1, H_2, H_3$ — условные вертикальные уровни, на которых находятся карандаши. Если один объект лежит "сверху" другого, его вертикальный уровень выше.

Из пункта 1 следует, что уровень карандаша 2 выше уровня карандаша 1: $H_2 > H_1$.

Из пункта 2 следует, что уровень карандаша 3 выше уровня карандаша 2: $H_3 > H_2$.

Из этих двух неравенств по свойству транзитивности следует, что $H_3 > H_2 > H_1$, из чего вытекает, что $H_3 > H_1$. Это значит, что карандаш 3 должен быть расположен выше карандаша 1.

Однако, согласно пункту 3, на рисунке изображено обратное: карандаш 1 лежит сверху карандаша 3, что математически означает $H_1 > H_3$.

Мы получили два взаимоисключающих утверждения: $H_3 > H_1$ и $H_1 > H_3$. Такое логическое противоречие доказывает, что подобная пространственная конфигурация из трех прямых жестких стержней невозможна.

Ответ: Нет, такое расположение карандашей невозможно.

6.15. Приведите примеры реальных объектов, идеализацией которых
являются скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не являются параллельными. Это означает, что они не лежат в одной плоскости. В реальном мире мы имеем дело с объектами, имеющими объем и конечную длину, а не с бесконечными одномерными прямыми. Однако многие вытянутые объекты можно мысленно упростить, то есть идеализировать до прямых, чтобы анализировать их взаимное расположение. Ниже приведены примеры реальных объектов, которые можно рассматривать как скрещивающиеся прямые.

Одним из самых наглядных примеров является дорожная развязка, где одна дорога проходит по мосту (путепроводу) над другой дорогой. Если мысленно провести осевые линии по центру каждой из дорог, то эти линии будут служить моделями прямых. Поскольку дороги находятся на разной высоте, эти прямые не пересекаются. Если же дороги не параллельны друг другу (что чаще всего и бывает в развязках), то эти прямые являются скрещивающимися.
Ответ: Осевая линия моста и осевая линия дороги, проходящей под ним.

Другой пример можно найти в любой комнате. Рассмотрим прямую, по которой потолок сходится с одной стеной, и прямую, по которой пол сходится со смежной (соседней) стеной. Эти две прямые не пересекаются, так как одна находится на уровне потолка, а другая — на уровне пола. Они также не параллельны, если стены смежные, а не противоположные. Следовательно, ребра комнаты, одно из которых принадлежит потолку, а другое — полу у смежной стены, являются идеализацией скрещивающихся прямых.
Ответ: Линия пересечения потолка и передней стены комнаты и линия пересечения пола и боковой стены.

Траектории движения двух самолетов, летящих на разных высотах (эшелонах) и непараллельными курсами, также представляют собой скрещивающиеся прямые. Так как самолеты находятся на разных высотах, их пути не пересекаются. А поскольку их курсы не параллельны, то и идеализированные траектории в виде прямых не будут параллельны.
Ответ: Упрощенные до прямых линий траектории двух самолетов, летящих на разных высотах и непараллельными курсами.

Можно также рассмотреть два непараллельных провода, например, один телефонный, а другой — троллейбусный, которые проходят на улице на разной высоте. Прямые, содержащие эти провода, не пересекаются и не параллельны, то есть являются скрещивающимися.
Ответ: Два непараллельных провода (например, линии электропередач или связи), расположенные на разной высоте.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

6.16. Попробуйте определить понятие параллельности прямой и плоскости.

6.16. Чтобы дать определение параллельности прямой и плоскости, необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения в пространстве. Пусть дана прямая $a$ и плоскость $\alpha$.

Существует три возможных случая их расположения:

1. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая пересекает плоскость. Математически это можно записать как $a \cap \alpha = M$, где $M$ — это точка пересечения.

2. Прямая и плоскость имеют больше одной общей точки. Согласно аксиомам стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая целиком принадлежит этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости. Математически: $a \subset \alpha$.

3. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Именно этот случай и описывает их параллельность.

Исходя из этого, можно сформулировать строгое определение.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.

Параллельность прямой $a$ и плоскости $\alpha$ обозначается как $a \parallel \alpha$. Это означает, что их пересечение является пустым множеством: $a \cap \alpha = \emptyset$.

Для определения параллельности на практике удобно использовать не само определение, а специальный признак.

Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

То есть, если нам дана прямая $a$, которая не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$), и в плоскости $\alpha$ можно найти прямую $b$ ($b \subset \alpha$) такую, что $a \parallel b$, то из этого следует, что $a \parallel \alpha$.

Простой пример из жизни: линия стыка потолка и стены в комнате (прямая) параллельна плоскости пола, так как она параллельна линии стыка этого же пола и стены под ней (прямой, лежащей в плоскости пола).

Ответ: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.