Номер 6.16, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

6.16. Попробуйте определить понятие параллельности прямой и плоскости.

6.16. Чтобы дать определение параллельности прямой и плоскости, необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения в пространстве. Пусть дана прямая $a$ и плоскость $\alpha$.

Существует три возможных случая их расположения:

1. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая пересекает плоскость. Математически это можно записать как $a \cap \alpha = M$, где $M$ — это точка пересечения.

2. Прямая и плоскость имеют больше одной общей точки. Согласно аксиомам стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая целиком принадлежит этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости. Математически: $a \subset \alpha$.

3. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Именно этот случай и описывает их параллельность.

Исходя из этого, можно сформулировать строгое определение.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.

Параллельность прямой $a$ и плоскости $\alpha$ обозначается как $a \parallel \alpha$. Это означает, что их пересечение является пустым множеством: $a \cap \alpha = \emptyset$.

Для определения параллельности на практике удобно использовать не само определение, а специальный признак.

Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

То есть, если нам дана прямая $a$, которая не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$), и в плоскости $\alpha$ можно найти прямую $b$ ($b \subset \alpha$) такую, что $a \parallel b$, то из этого следует, что $a \parallel \alpha$.

Простой пример из жизни: линия стыка потолка и стены в комнате (прямая) параллельна плоскости пола, так как она параллельна линии стыка этого же пола и стены под ней (прямой, лежащей в плоскости пола).

Ответ: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.