Номер 6.12, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.12. Каково взаимное расположение прямых $EF$ и $GH$ (рис. 6.10)? Ответ объясните.

Для того чтобы определить взаимное расположение прямых EF и GH, необходимо проанализировать их положение относительно плоскостей тетраэдра DABC.

1. Рассмотрим прямую EF. Точка E принадлежит ребру AB, а точка F принадлежит ребру AD. Ребра AB и AD являются пересекающимися прямыми и определяют плоскость грани ABD. Поскольку обе точки E и F прямой EF лежат в плоскости (ABD), то по аксиоме стереометрии вся прямая EF лежит в этой плоскости. Таким образом, $EF \subset (ABD)$.

2. Рассмотрим прямую GH. Точка G принадлежит ребру BC, а точка H принадлежит ребру DC. Ребра BC и DC являются пересекающимися прямыми и определяют плоскость грани BCD. Поскольку обе точки G и H прямой GH лежат в плоскости (BCD), то вся прямая GH лежит в этой плоскости. Таким образом, $GH \subset (BCD)$.

Прямые EF и GH лежат в разных плоскостях: $EF$ в плоскости $(ABD)$, а $GH$ в плоскости $(BCD)$. Две прямые могут быть пересекающимися или параллельными только в том случае, если они лежат в одной плоскости. Чтобы доказать, что они скрещивающиеся, нужно показать, что они не лежат в одной плоскости.

Докажем это от противного. Предположим, что прямые EF и GH лежат в некоторой одной плоскости $\alpha$. Тогда все четыре точки E, F, G, H должны принадлежать этой плоскости $\alpha$.

Поскольку точки E и F лежат в плоскости $\alpha$, а также в плоскости $(ABD)$, то все точки прямой EF лежат в обеих плоскостях. Если мы добавим точку G в эту же плоскость $\alpha$, то нам нужно проверить, может ли точка G лежать в плоскости $(ABD)$.

Точка G лежит на ребре BC. Вершина C не принадлежит плоскости $(ABD)$. Прямая BC пересекает плоскость $(ABD)$ в единственной точке — точке B. Из рисунка видно, что точка G является внутренней точкой отрезка BC (то есть не совпадает с точками B и C). Следовательно, точка G не принадлежит плоскости $(ABD)$.

Так как точка G (которая должна лежать в предполагаемой плоскости $\alpha$) не лежит в плоскости $(ABD)$ (в которой лежат точки E и F), то наше предположение о существовании единой плоскости $\alpha$ для всех четырех точек неверно. Точки E, F, G, H некомпланарны, то есть не лежат в одной плоскости.

По определению, две прямые в пространстве, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Ответ: Прямые EF и GH являются скрещивающимися.