Номер 6.10, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.10. Сколько пар скрещивающихся ребер имеется у четырехугольной пирамиды?

Для того чтобы определить количество пар скрещивающихся ребер у четырехугольной пирамиды, необходимо проанализировать взаимное расположение ее ребер. Пусть вершины основания пирамиды обозначены как A, B, C, D, а вершина пирамиды — S. У такой пирамиды всего 8 ребер: 4 ребра основания (AB, BC, CD, DA) и 4 боковых ребра (SA, SB, SC, SD).

Скрещивающиеся ребра — это ребра, которые лежат на непересекающихся и непараллельных прямых. Для многогранника это означает, что ребра не должны иметь общих вершин и не должны лежать в одной плоскости.

Рассмотрим три возможных типа пар ребер:

1. Два ребра основания. Любые два ребра основания (например, AB и CD или AB и BC) лежат в одной плоскости — плоскости основания ABCD. Следовательно, они не могут быть скрещивающимися. Они либо пересекаются (если смежные), либо параллельны или пересекаются на продолжении (если противолежащие).

2. Два боковых ребра. Любые два боковых ребра (например, SA и SC) имеют общую вершину S. Следовательно, они пересекаются и не могут быть скрещивающимися.

3. Одно ребро основания и одно боковое ребро. Этот случай является единственным, где могут быть скрещивающиеся ребра. Пара, состоящая из ребра основания и бокового ребра, будет скрещивающейся, если у них нет общей вершины.

Выполним систематический подсчет таких пар:

Возьмем ребро основания AB. Боковые ребра SA и SB имеют с ним общие вершины (A и B соответственно), поэтому они с ним пересекаются. Два других боковых ребра, SC и SD, не имеют общих вершин с ребром AB и не лежат с ним в одной плоскости. Таким образом, с ребром AB скрещиваются два ребра: SC и SD. Это дает 2 пары.

Поскольку основание пирамиды имеет 4 ребра, и рассуждения для каждого из них аналогичны, мы можем найти общее количество пар. Для каждого из 4-х ребер основания существует ровно 2 боковых ребра, которые с ним скрещиваются.

• Для ребра AB скрещивающимися являются SC и SD (2 пары).

• Для ребра BC скрещивающимися являются SA и SD (2 пары).

• Для ребра CD скрещивающимися являются SA и SB (2 пары).

• Для ребра DA скрещивающимися являются SB и SC (2 пары).

Суммируя количество пар для каждого ребра основания, получаем общее количество: $2 + 2 + 2 + 2 = 8$.

Альтернативный способ — комбинаторный. Общее число ребер равно 8. Число всех возможных пар ребер равно числу сочетаний из 8 по 2: $C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ пар. Из них вычтем число пересекающихся и копланарных пар. В вершине S сходятся 4 ребра, образуя $C_4^2=6$ пересекающихся пар. В каждой из 4 вершин основания сходятся по 3 ребра, образуя $C_3^2=3$ пары. Всего в вершинах основания $4 \times 3 = 12$ пар. Общее число пересекающихся пар: $6 + 12 = 18$. Кроме того, есть 2 пары противолежащих ребер основания, которые лежат в одной плоскости, но не пересекаются. Итого нескрещивающихся пар: $18 + 2 = 20$. Число скрещивающихся пар: $28 - 20 = 8$.

Ответ: 8.