Номер 6.5, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.5. Запишите ребра шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, скрещивающиеся с ребром:

a) $AA_1$;

б) $AB$ (рис. 6.6).

6.6. Сколько пар скрещивающихся

Скрещивающиеся прямые — это прямые в трехмерном пространстве, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости (следовательно, не параллельны). Чтобы найти ребра, скрещивающиеся с данным ребром, нужно из всех ребер призмы исключить те, которые параллельны данному ребру, и те, которые его пересекают.

а) Найдем ребра, скрещивающиеся с ребром $AA_1$.

Ребро $AA_1$ является боковым ребром призмы.
1. Параллельные ребра: Все боковые ребра призмы параллельны друг другу. Следовательно, ребру $AA_1$ параллельны ребра $BB_1, CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$. Эти ребра не являются скрещивающимися с $AA_1$.
2. Пересекающиеся ребра: Это ребра, имеющие с ребром $AA_1$ общую вершину. У ребра $AA_1$ две вершины: $A$ и $A_1$.
• В вершине $A$ с ребром $AA_1$ пересекаются ребра нижнего основания $AB$ и $AF$.
• В вершине $A_1$ с ребром $AA_1$ пересекаются ребра верхнего основания $A_1B_1$ и $A_1F_1$.
Эти четыре ребра ($AB, AF, A_1B_1, A_1F_1$) не являются скрещивающимися с $AA_1$.
3. Скрещивающиеся ребра: Все остальные ребра призмы будут скрещиваться с ребром $AA_1$. Это те ребра оснований, которые не имеют общих вершин с ребром $AA_1$.
• Ребра нижнего основания: $BC, CD, DE, EF$.
• Ребра верхнего основания: $B_1C_1, C_1D_1, D_1E_1, E_1F_1$.
Всего 8 скрещивающихся ребер.

Ответ: $BC, CD, DE, EF, B_1C_1, C_1D_1, D_1E_1, E_1F_1$.

б) Найдем ребра, скрещивающиеся с ребром $AB$.

Ребро $AB$ — это ребро нижнего основания. Будем считать, что в основании призмы лежит правильный шестиугольник, как это обычно предполагается в подобных задачах и изображено на рисунке.
1. Параллельные ребра: В призме ребро верхнего основания $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны, поэтому ребро $DE$ параллельно ребру $AB$. Так как $D_1E_1 \parallel DE$, то и $D_1E_1 \parallel AB$. Таким образом, ребра $A_1B_1, DE, D_1E_1$ параллельны ребру $AB$ и не являются скрещивающимися.
2. Пересекающиеся ребра: Это ребра, имеющие с $AB$ общие вершины $A$ или $B$.
• В вершине $A$: ребра $AF$ и $AA_1$.
• В вершине $B$: ребра $BC$ и $BB_1$.
Эти четыре ребра ($AF, AA_1, BC, BB_1$) пересекают ребро $AB$ и не являются скрещивающимися.
3. Ребра, лежащие в одной плоскости с $AB$ (не скрещивающиеся): Ребра $CD$ и $EF$ лежат в плоскости нижнего основания вместе с ребром $AB$. Так как они не параллельны $AB$, прямые, содержащие эти ребра, пересекают прямую, содержащую ребро $AB$. Следовательно, они не скрещиваются.
4. Скрещивающиеся ребра: Все оставшиеся ребра призмы будут скрещивающимися с ребром $AB$.
• Из боковых ребер: $CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$. Они не параллельны $AB$ и не пересекают его.
• Из ребер верхнего основания: $B_1C_1, C_1D_1, E_1F_1, F_1A_1$. Эти ребра лежат в плоскости, параллельной плоскости ребра $AB$, но сами ему не параллельны.
Всего 8 скрещивающихся ребер.

Ответ: $CC_1, DD_1, EE_1, FF_1, B_1C_1, C_1D_1, E_1F_1, F_1A_1$.