Номер 6.9, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.9. Пусть $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые (рис. 6.8). Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекают прямые $a$ и $b$. Могут ли прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ быть пересекающимися или параллельными?

Рис. 6.8

Могут ли прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ быть пересекающимися?

Предположим, что прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\alpha$.

Поскольку прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$, то все ее точки, включая $A_1$ и $B_1$, принадлежат этой плоскости. Аналогично, так как прямая $A_2B_2$ лежит в плоскости $\alpha$, то точки $A_2$ и $B_2$ также принадлежат этой плоскости.

Точки $A_1$ и $A_2$ принадлежат прямой $a$. Так как две точки прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $a$ лежит в этой плоскости.Точно так же, точки $B_1$ и $B_2$ принадлежат прямой $b$. Так как две точки прямой $b$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $b$ лежит в этой плоскости.

Таким образом, мы приходим к выводу, что обе прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Это противоречит исходному условию, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися (т.е. не лежат в одной плоскости). Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ не могут быть пересекающимися.

Могут ли прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ быть параллельными?

Теперь предположим, что прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны. По определению, через две параллельные прямые также проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, раз прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ лежат в плоскости $\beta$, то и все их определяющие точки ($A_1, B_1, A_2, B_2$) лежат в этой же плоскости.

Так как точки $A_1$ и $A_2$ принадлежат плоскости $\beta$, то вся прямая $a$, проходящая через них, лежит в плоскости $\beta$.Так как точки $B_1$ и $B_2$ принадлежат плоскости $\beta$, то вся прямая $b$, проходящая через них, лежит в плоскости $\beta$.

Мы снова получили, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной и той же плоскости $\beta$, что противоречит условию их скрещивания. Следовательно, это предположение также неверно.

Ответ: прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ не могут быть параллельными.