Страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.4. Запишите ребра, скрещивающиеся с ребром $SA$, для: а) четырех-угольной пирамиды SABCD (рис. 6.5, а); б) шестиугольной пирамиды SABCDEF (рис. 6.5, б).

а)

б)

Рис. 6.5

а) Чтобы найти ребра четырехугольной пирамиды SABCD, скрещивающиеся с ребром SA, необходимо определить все ребра, которые не пересекаются с ребром SA и не параллельны ему.

Скрещивающиеся ребра лежат на скрещивающихся прямых. По определению, это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Проще говоря, они не пересекаются и не параллельны.

1. Найдем ребра, которые пересекают ребро SA. Это ребра, имеющие с ним общую вершину (S или A).
• В вершине S с ребром SA пересекаются боковые ребра: SB, SC, SD.
• В вершине A с ребром SA пересекаются ребра основания: AB и AD.

2. Проверим наличие параллельных ребер. В пирамиде нет ребер, параллельных боковому ребру SA.

3. Теперь из полного списка ребер пирамиды (SA, SB, SC, SD, AB, BC, CD, AD) исключим само ребро SA и все пересекающиеся с ним ребра (SB, SC, SD, AB, AD). В результате остаются ребра, которые и являются скрещивающимися с SA.

Ответ: BC, CD.

б) Аналогично определим ребра шестиугольной пирамиды SABCDEF, скрещивающиеся с ребром SA.

1. Ребра, пересекающие SA в его вершинах:
• В вершине S: SB, SC, SD, SE, SF.
• В вершине A: AB, AF.

2. Параллельных ребру SA ребер в пирамиде нет.

3. Из всего множества ребер пирамиды (SA, SB, SC, SD, SE, SF, AB, BC, CD, DE, EF, AF) исключаем само ребро SA и все пересекающиеся с ним. Остаются ребра основания, которые не имеют общих точек с ребром SA и не параллельны ему.

Ответ: BC, CD, DE, EF.

6.5. Запишите ребра шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, скрещивающиеся с ребром:

a) $AA_1$;

б) $AB$ (рис. 6.6).

6.6. Сколько пар скрещивающихся

Скрещивающиеся прямые — это прямые в трехмерном пространстве, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости (следовательно, не параллельны). Чтобы найти ребра, скрещивающиеся с данным ребром, нужно из всех ребер призмы исключить те, которые параллельны данному ребру, и те, которые его пересекают.

а) Найдем ребра, скрещивающиеся с ребром $AA_1$.

Ребро $AA_1$ является боковым ребром призмы.
1. Параллельные ребра: Все боковые ребра призмы параллельны друг другу. Следовательно, ребру $AA_1$ параллельны ребра $BB_1, CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$. Эти ребра не являются скрещивающимися с $AA_1$.
2. Пересекающиеся ребра: Это ребра, имеющие с ребром $AA_1$ общую вершину. У ребра $AA_1$ две вершины: $A$ и $A_1$.
• В вершине $A$ с ребром $AA_1$ пересекаются ребра нижнего основания $AB$ и $AF$.
• В вершине $A_1$ с ребром $AA_1$ пересекаются ребра верхнего основания $A_1B_1$ и $A_1F_1$.
Эти четыре ребра ($AB, AF, A_1B_1, A_1F_1$) не являются скрещивающимися с $AA_1$.
3. Скрещивающиеся ребра: Все остальные ребра призмы будут скрещиваться с ребром $AA_1$. Это те ребра оснований, которые не имеют общих вершин с ребром $AA_1$.
• Ребра нижнего основания: $BC, CD, DE, EF$.
• Ребра верхнего основания: $B_1C_1, C_1D_1, D_1E_1, E_1F_1$.
Всего 8 скрещивающихся ребер.

Ответ: $BC, CD, DE, EF, B_1C_1, C_1D_1, D_1E_1, E_1F_1$.

б) Найдем ребра, скрещивающиеся с ребром $AB$.

Ребро $AB$ — это ребро нижнего основания. Будем считать, что в основании призмы лежит правильный шестиугольник, как это обычно предполагается в подобных задачах и изображено на рисунке.
1. Параллельные ребра: В призме ребро верхнего основания $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны, поэтому ребро $DE$ параллельно ребру $AB$. Так как $D_1E_1 \parallel DE$, то и $D_1E_1 \parallel AB$. Таким образом, ребра $A_1B_1, DE, D_1E_1$ параллельны ребру $AB$ и не являются скрещивающимися.
2. Пересекающиеся ребра: Это ребра, имеющие с $AB$ общие вершины $A$ или $B$.
• В вершине $A$: ребра $AF$ и $AA_1$.
• В вершине $B$: ребра $BC$ и $BB_1$.
Эти четыре ребра ($AF, AA_1, BC, BB_1$) пересекают ребро $AB$ и не являются скрещивающимися.
3. Ребра, лежащие в одной плоскости с $AB$ (не скрещивающиеся): Ребра $CD$ и $EF$ лежат в плоскости нижнего основания вместе с ребром $AB$. Так как они не параллельны $AB$, прямые, содержащие эти ребра, пересекают прямую, содержащую ребро $AB$. Следовательно, они не скрещиваются.
4. Скрещивающиеся ребра: Все оставшиеся ребра призмы будут скрещивающимися с ребром $AB$.
• Из боковых ребер: $CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$. Они не параллельны $AB$ и не пересекают его.
• Из ребер верхнего основания: $B_1C_1, C_1D_1, E_1F_1, F_1A_1$. Эти ребра лежат в плоскости, параллельной плоскости ребра $AB$, но сами ему не параллельны.
Всего 8 скрещивающихся ребер.

Ответ: $CC_1, DD_1, EE_1, FF_1, B_1C_1, C_1D_1, E_1F_1, F_1A_1$.

6.6. Сколько пар скрещивающихся ребер имеется у тетраэдра?

Тетраэдр — это многогранник, у которого 4 вершины, 6 ребер и 4 треугольные грани. Скрещивающиеся ребра — это такие два ребра, которые не пересекаются и не параллельны друг другу, то есть не лежат в одной плоскости.

Для нахождения количества пар скрещивающихся ребер у тетраэдра можно применить метод прямого перебора. Обозначим вершины тетраэдра буквами A, B, C и D. Тогда его ребрами будут отрезки AB, AC, AD, BC, BD, CD. Два ребра будут скрещиваться, если у них нет общих вершин.

1. Возьмем ребро AB. Ребра, которые его пересекают, имеют с ним общую вершину: это AC, AD (в вершине A) и BC, BD (в вершине B). Единственное ребро, которое не имеет общих вершин с AB, это ребро CD. Таким образом, первая пара скрещивающихся ребер — (AB, CD).

2. Возьмем ребро AC. Скрещивающимся для него будет ребро BD, так как только оно не имеет с AC общих вершин. Вторая пара — (AC, BD).

3. Возьмем ребро AD. Скрещивающимся для него будет ребро BC. Третья пара — (AD, BC).

Мы рассмотрели все ребра, выходящие из вершины A. Все остальные ребра (BC, BD, CD) уже вошли в найденные пары. Следовательно, у тетраэдра существует ровно 3 пары скрещивающихся ребер.

Этот же результат можно подтвердить комбинаторным методом. Общее число ребер в тетраэдре — 6. Общее число всех возможных пар ребер равно числу сочетаний из 6 по 2: $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$. Пары ребер в тетраэдре могут быть либо пересекающимися (иметь общую вершину), либо скрещивающимися. Посчитаем число пар пересекающихся ребер. В каждой из 4 вершин тетраэдра сходятся 3 ребра. Число пар ребер, выходящих из одной вершины, равно $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$. Так как всего 4 вершины, то общее число пересекающихся пар равно $4 \times 3 = 12$. Число пар скрещивающихся ребер находим как разность: $15 - 12 = 3$.

Ответ: 3.

6.7. Прямая $a$ скрещивается с прямой $b$, а прямая $b$ скрещивается с прямой $c$. Следует ли отсюда, что прямые $a$ и $c$ скрещиваются?

Нет, из данных условий не следует, что прямые $a$ и $c$ скрещиваются. Отношение скрещиваемости для прямых в пространстве не является транзитивным. Это означает, что если прямая $a$ скрещивается с $b$, а $b$ скрещивается с $c$, то прямые $a$ и $c$ могут быть не только скрещивающимися, но также могут быть параллельными или пересекающимися.

Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть контрпримеры, которые показывают, что возможны другие варианты взаимного расположения прямых $a$ и $c$.

Пример, когда прямые $a$ и $c$ параллельны

Рассмотрим в качестве модели прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Пусть прямая $a$ — это прямая $AD$, содержащая ребро $AD$.

Пусть прямая $b$ — это прямая $BB_1$, содержащая ребро $BB_1$.

Пусть прямая $c$ — это прямая $A_1D_1$, содержащая ребро $A_1D_1$.

Проверим исходные условия:

Прямая $a$ ($AD$) и прямая $b$ ($BB_1$) не лежат в одной плоскости и не пересекаются, значит, они скрещиваются.

Прямая $b$ ($BB_1$) и прямая $c$ ($A_1D_1$) также не лежат в одной плоскости и не пересекаются, значит, они тоже скрещиваются.

Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых $a$ и $c$. Прямые $a$ ($AD$) и $c$ ($A_1D_1$) лежат в одной плоскости грани $ADD_1A_1$ и не имеют общих точек. Следовательно, они параллельны ($a \parallel c$), а не скрещиваются.

Пример, когда прямые $a$ и $c$ пересекаются

Рассмотрим декартову систему координат $Oxyz$.

Пусть прямая $b$ лежит в плоскости $Oxy$ и задана уравнениями $y=1, z=0$. Эта прямая параллельна оси $Ox$.

Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $Oxz$ и задана уравнениями $y=0, z=x$.

Пусть прямая $c$ также лежит в плоскости $Oxz$ и задана уравнениями $y=0, z=-x$.

Проверим исходные условия:

Прямая $a$ и прямая $b$ не пересекаются (так как для $a$ координата $y=0$, а для $b$ — $y=1$) и не параллельны (их направляющие векторы $(1,0,1)$ и $(1,0,0)$ не коллинеарны). Значит, они скрещиваются.

Прямая $b$ и прямая $c$ также не пересекаются ($y=1$ и $y=0$) и не параллельны (их направляющие векторы $(1,0,0)$ и $(1,0,-1)$ не коллинеарны). Значит, они тоже скрещиваются.

При этом прямые $a$ и $c$ обе лежат в плоскости $Oxz$ и обе проходят через начало координат $(0,0,0)$, то есть они пересекаются в этой точке.

Оба примера доказывают, что из того, что $a$ скрещивается с $b$ и $b$ скрещивается с $c$, не следует, что $a$ скрещивается с $c$.

Ответ: Нет, не следует. Прямые $a$ и $c$ могут быть как параллельными, так и пересекающимися.

6.8. Как расположены в пространстве прямые $a$ и $b$, проведенные в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ (рис. 6.7)? Ответ объясните.

Прямые $a$ и $b$, изображенные на рисунке, являются скрещивающимися. Объясним, почему это так.

1. Согласно рисунку, прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ (что можно записать как $a \subset \alpha$), а прямая $b$ — в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой.

2. Вспомним возможные варианты взаимного расположения двух прямых в пространстве: они могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

- Пересечение: Если бы прямые $a$ и $b$ пересекались, то точка их пересечения принадлежала бы обеим плоскостям, а значит, находилась бы на линии их пересечения. Рисунок изображает общий случай, когда у прямых нет общей точки.

- Параллельность: Если бы прямые $a$ и $b$ были параллельны, они должны были бы лежать в одной плоскости. Однако они лежат в разных пересекающихся плоскостях. Также на рисунке очевидно, что их направления не совпадают.

3. Поскольку прямые $a$ и $b$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися по определению.

Это также следует из признака скрещивающихся прямых: если одна прямая (например, $b$) пересекает плоскость, в которой лежит другая прямая (плоскость $\alpha$), в точке, не принадлежащей этой другой прямой (прямой $a$), то эти прямые скрещиваются. На рисунке видно, что прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ на линии пересечения плоскостей, и эта точка пересечения не лежит на прямой $a$.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися, поскольку они лежат в разных пересекающихся плоскостях, не пересекаются и не параллельны.

6.9. Пусть $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые (рис. 6.8). Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекают прямые $a$ и $b$. Могут ли прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ быть пересекающимися или параллельными?

Рис. 6.8

Могут ли прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ быть пересекающимися?

Предположим, что прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\alpha$.

Поскольку прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$, то все ее точки, включая $A_1$ и $B_1$, принадлежат этой плоскости. Аналогично, так как прямая $A_2B_2$ лежит в плоскости $\alpha$, то точки $A_2$ и $B_2$ также принадлежат этой плоскости.

Точки $A_1$ и $A_2$ принадлежат прямой $a$. Так как две точки прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $a$ лежит в этой плоскости.Точно так же, точки $B_1$ и $B_2$ принадлежат прямой $b$. Так как две точки прямой $b$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $b$ лежит в этой плоскости.

Таким образом, мы приходим к выводу, что обе прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Это противоречит исходному условию, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися (т.е. не лежат в одной плоскости). Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ не могут быть пересекающимися.

Могут ли прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ быть параллельными?

Теперь предположим, что прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны. По определению, через две параллельные прямые также проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, раз прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ лежат в плоскости $\beta$, то и все их определяющие точки ($A_1, B_1, A_2, B_2$) лежат в этой же плоскости.

Так как точки $A_1$ и $A_2$ принадлежат плоскости $\beta$, то вся прямая $a$, проходящая через них, лежит в плоскости $\beta$.Так как точки $B_1$ и $B_2$ принадлежат плоскости $\beta$, то вся прямая $b$, проходящая через них, лежит в плоскости $\beta$.

Мы снова получили, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной и той же плоскости $\beta$, что противоречит условию их скрещивания. Следовательно, это предположение также неверно.

Ответ: прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ не могут быть параллельными.