Страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как может располагаться прямая относительно плоскости?

2. Какая прямая называется параллельной плоскости?

3. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве может быть одним из трех следующих:

Прямая лежит в плоскости: все точки прямой принадлежат плоскости. В этом случае прямая и плоскость имеют бесконечное множество общих точек. Если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, это обозначается как $a \subset \alpha$.

Прямая пересекает плоскость: прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку, которая называется точкой пересечения. Если прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, это записывается как $a \cap \alpha = \{M\}$.

Прямая параллельна плоскости: прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, это записывается как $a \parallel \alpha$.

Ответ: Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость в одной точке или быть параллельной плоскости.

2. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с этой плоскостью ни одной общей точки. Это означает, что каждая точка прямой находится на одинаковом ненулевом расстоянии от плоскости. Обозначается параллельность прямой $a$ и плоскости $\alpha$ как $a \parallel \alpha$. Условие параллельности означает, что их пересечение является пустым множеством: $a \cap \alpha = \emptyset$.

Ответ: Прямая называется параллельной плоскости, если они не имеют общих точек.

3. Признак параллельности прямой и плоскости — это теорема, которая позволяет определить, параллельна ли прямая плоскости, не проверяя наличие общих точек напрямую. Формулировка признака следующая:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Пусть нам даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$. Для того чтобы прямая $a$ была параллельна плоскости $\alpha$, достаточно выполнения следующих условий:

1. Существует прямая $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

2. Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

3. Сама прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$).

Если все три условия выполнены, то можно сделать вывод, что $a \parallel \alpha$.

Ответ: Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

7.1. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ укажите ребра, параллельные грани $ABCD$ (рис. 7.6).

Рис. 7.6

Для того чтобы найти ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, параллельные грани $ABCD$, необходимо определить, какие из ребер не имеют общих точек с плоскостью этой грани.

В кубе противоположные грани параллельны. Грань $ABCD$ является нижним основанием, а грань $A_1B_1C_1D_1$ — верхним. Следовательно, плоскость, содержащая грань $A_1B_1C_1D_1$, параллельна плоскости, содержащей грань $ABCD$.

По свойству параллельных плоскостей, любая прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости. Ребра $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$ и $D_1A_1$ лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Так как плоскость $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости $(ABC)$, то и каждое из этих ребер параллельно грани $ABCD$.

Рассмотрим остальные ребра куба:

- Ребра $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ принадлежат самой грани $ABCD$ и, следовательно, не параллельны ей.

- Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ пересекают грань $ABCD$ в точках $A$, $B$, $C$ и $D$ соответственно, поэтому они также не являются параллельными этой грани.

Таким образом, ребрами, параллельными грани $ABCD$, являются только ребра верхнего основания.

Ответ: $A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$.

7.2. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите грани, параллельные ребру:

а) $AB$;

б) $AA_1$ (рис. 7.7).

Рис. 7.7

а)

Согласно определению, прямая параллельна плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек. Признак параллельности прямой и плоскости гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Мы ищем грани (плоскости), параллельные ребру $AB$.

1. Ребро $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$ и в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Следовательно, эти грани не параллельны ребру $AB$, а содержат его.

2. Рассмотрим плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В призме соответствующие ребра оснований параллельны, значит $AB \parallel A_1B_1$. Так как прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, а ребро $AB$ в ней не лежит, то по признаку параллельности ребро $AB$ параллельно плоскости грани $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

3. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Сторона, противоположная стороне $AB$, это сторона $ED$. Таким образом, $AB \parallel ED$. Ребро $ED$ принадлежит боковой грани $DEE_1D_1$. Поскольку $AB$ не лежит в плоскости этой грани, то ребро $AB$ параллельно плоскости грани $DEE_1D_1$.

4. Боковые грани $BCC_1B_1$ и $FAA_1F_1$ не параллельны ребру $AB$, так как пересекают его в точках $B$ и $A$ соответственно. Боковые грани $CDD_1C_1$ и $EFF_1E_1$ также не параллельны ребру $AB$, так как в правильном шестиугольнике $AB \not\parallel CD$ и $AB \not\parallel EF$, а также $AB$ не параллельно боковым ребрам ($CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$), так как они ему перпендикулярны. Значит, ребро $AB$ не параллельно ни одной прямой в этих гранях.

Ответ: $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и $DEE_1D_1$.

б)

Ищем грани, параллельные боковому ребру $AA_1$.

1. Ребро $AA_1$ принадлежит боковым граням $ABB_1A_1$ и $FAA_1F_1$. Поэтому эти грани содержат ребро $AA_1$ и не могут быть ему параллельны.

2. Призма является правильной, а значит прямой. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Ребро $AA_1$ пересекает плоскость нижнего основания $ABCDEF$ в точке $A$ и плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ в точке $A_1$. Следовательно, грани оснований не параллельны ребру $AA_1$.

3. В прямой призме все боковые ребра параллельны между собой. То есть, $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1 \parallel EE_1 \parallel FF_1$.

4. Рассмотрим остальные боковые грани, которые не содержат ребро $AA_1$:
Грань $BCC_1B_1$ содержит ребро $BB_1$. Так как $AA_1 \parallel BB_1$, то ребро $AA_1$ параллельно плоскости грани $BCC_1B_1$.
Грань $CDD_1C_1$ содержит ребро $CC_1$. Так как $AA_1 \parallel CC_1$, то ребро $AA_1$ параллельно плоскости грани $CDD_1C_1$.
Грань $DEE_1D_1$ содержит ребро $DD_1$. Так как $AA_1 \parallel DD_1$, то ребро $AA_1$ параллельно плоскости грани $DEE_1D_1$.
Грань $EFF_1E_1$ содержит ребро $EE_1$. Так как $AA_1 \parallel EE_1$, то ребро $AA_1$ параллельно плоскости грани $EFF_1E_1$.

Ответ: $BCC_1B_1, CDD_1C_1, DEE_1D_1, EFF_1E_1$.

7.3. Верно ли, что две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой?

Нет, данное утверждение неверно.

Две прямые, которые параллельны одной и той же плоскости, не обязательно параллельны друг другу. В пространстве такие прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести контрпример, в котором прямые не будут параллельны.

Пример с пересекающимися прямыми:

Представим себе комнату. Плоскость пола — это наша заданная плоскость $\alpha$. В плоскости потолка, которая параллельна плоскости пола, можно провести две пересекающиеся прямые, назовем их $a$ и $b$. Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости потолка, а плоскость потолка параллельна плоскости пола $\alpha$, то каждая из этих прямых ($a$ и $b$) параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, мы имеем две прямые $a$ и $b$, такие что $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, но при этом $a$ и $b$ пересекаются, а значит не параллельны.

Пример со скрещивающимися прямыми:

Рассмотрим прямоугольную систему координат $Oxyz$. Пусть плоскость $\alpha$ — это координатная плоскость $Oxy$ (задается уравнением $z=0$).

Возьмем прямую $a$, проходящую на высоте $z=1$ параллельно оси $Ox$. Эта прямая параллельна плоскости $\alpha$.

Возьмем прямую $b$, проходящую на высоте $z=2$ параллельно оси $Oy$. Эта прямая также параллельна плоскости $\alpha$.

Прямые $a$ и $b$ не параллельны друг другу (их направляющие векторы не коллинеарны) и не пересекаются. То есть они являются скрещивающимися. Этот пример также показывает, что две прямые, параллельные одной плоскости, не обязаны быть параллельными между собой.

Ответ: нет, неверно.