Страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какие две плоскости называются параллельными?

2. Перечислите случаи взаимного расположения двух плоскостей.

3. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

1. Какие две плоскости называются параллельными?

Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Если плоскости, обозначенные как $\alpha$ и $\beta$, параллельны, то это записывается как $\alpha \parallel \beta$. Такое условие означает, что их пересечение является пустым множеством: $\alpha \cap \beta = \emptyset$.

Ответ: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

2. Перечислите случаи взаимного расположения двух плоскостей.

Существует три возможных случая взаимного расположения двух плоскостей в трехмерном пространстве:

1. Плоскости пересекаются. В этом случае их общей частью (пересечением) является прямая линия. Это происходит, если плоскости имеют хотя бы одну общую точку, но не совпадают.

2. Плоскости параллельны. В этом случае у плоскостей нет ни одной общей точки. Расстояние между ними постоянно в любой точке.

3. Плоскости совпадают. Это означает, что все точки одной плоскости принадлежат и другой плоскости, то есть это одна и та же плоскость.

Ответ: Две плоскости в пространстве могут: 1) пересекаться по прямой; 2) быть параллельными (не иметь общих точек); 3) совпадать.

3. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

Признак параллельности двух плоскостей — это теорема, которая позволяет установить параллельность плоскостей на основе свойств лежащих в них прямых.

Формулировка теоремы: Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Более формально: пусть в плоскости $\alpha$ лежат пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Пусть в плоскости $\beta$ лежат пересекающиеся прямые $a'$ и $b'$. Если прямая $a$ параллельна прямой $a'$, а прямая $b$ параллельна прямой $b'$ ($a \parallel a'$ и $b \parallel b'$), то плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Ответ: Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

8.1. Укажите параллельные плоскости, содержащие грани параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 8.4).

По определению, параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является параллелограммом. Противоположные грани параллелепипеда попарно параллельны и равны. Для данного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно выделить три пары параллельных плоскостей, содержащих его грани.

1. Основания. Нижнее основание $ABCD$ и верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$. Плоскость, содержащая нижнюю грань, может быть обозначена как $(ABC)$, а плоскость, содержащая верхнюю грань, — как $(A_1B_1C_1)$. Поскольку эти грани противоположны, содержащие их плоскости параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.

2. Передняя и задняя грани. Передняя грань $ABB_1A_1$ и задняя грань $DCC_1D_1$ являются противоположными. Плоскость передней грани — $(ABB_1)$, плоскость задней грани — $(DCC_1)$. Следовательно, эти плоскости параллельны: $(ABB_1) \parallel (DCC_1)$.

3. Боковые грани. Левая боковая грань $ADD_1A_1$ и правая боковая грань $BCC_1B_1$ также являются противоположными. Плоскость левой грани — $(ADD_1)$, плоскость правой грани — $(BCC_1)$. Эти плоскости параллельны: $(ADD_1) \parallel (BCC_1)$.

Таким образом, мы нашли три пары параллельных плоскостей.

Ответ: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$, $(ABB_1) \parallel (DCC_1)$, $(ADD_1) \parallel (BCC_1)$.

8.2. Укажите параллельные плоскости, содержащие грани правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 8.5).

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ гранями являются два основания (правильные шестиугольники) и шесть боковых граней (прямоугольники). Две плоскости параллельны, если они не пересекаются. Найдем все пары параллельных плоскостей, содержащих грани данной призмы.

1. Плоскости оснований
По определению призмы, ее основания лежат в параллельных плоскостях. В данном случае это плоскость нижнего основания, содержащая многоугольник $ABCDEF$ (обозначим ее $(ABC)$), и плоскость верхнего основания, содержащая многоугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (обозначим ее $(A_1B_1C_1)$).
Таким образом, первая пара параллельных плоскостей: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.

2. Плоскости боковых граней
Чтобы определить, какие из плоскостей боковых граней параллельны, рассмотрим свойства основания. Основанием является правильный шестиугольник $ABCDEF$, у которого противоположные стороны попарно параллельны:
$AB \parallel ED$
$BC \parallel FE$
$CD \parallel AF$

Боковые ребра призмы по определению параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1 \parallel EE_1 \parallel FF_1$.

Для определения параллельности плоскостей воспользуемся признаком: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

- Рассмотрим плоскости, содержащие противоположные грани $ABB_1A_1$ и $DEE_1D_1$. В плоскости $(ABB_1A_1)$ лежат пересекающиеся прямые $AB$ и $AA_1$. В плоскости $(DEE_1D_1)$ лежат пересекающиеся прямые $DE$ и $DD_1$. Так как $AB \parallel DE$ и $AA_1 \parallel DD_1$, то по признаку параллельности плоскостей, плоскость $(ABB_1A_1)$ параллельна плоскости $(DEE_1D_1)$.

- Рассмотрим плоскости, содержащие противоположные грани $BCC_1B_1$ и $EFF_1E_1$. Аналогично, в плоскости $(BCC_1B_1)$ лежат пересекающиеся прямые $BC$ и $BB_1$. В плоскости $(EFF_1E_1)$ лежат пересекающиеся прямые $FE$ и $FF_1$. Так как $BC \parallel FE$ и $BB_1 \parallel FF_1$, то плоскость $(BCC_1B_1)$ параллельна плоскости $(EFF_1E_1)$.

- Рассмотрим плоскости, содержащие противоположные грани $CDD_1C_1$ и $FAA_1F_1$. В плоскости $(CDD_1C_1)$ лежат пересекающиеся прямые $CD$ и $CC_1$. В плоскости $(FAA_1F_1)$ лежат пересекающиеся прямые $AF$ и $AA_1$. Так как $CD \parallel AF$ и $CC_1 \parallel AA_1$, то плоскость $(CDD_1C_1)$ параллельна плоскости $(FAA_1F_1)$.

Ответ:
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ существует четыре пары параллельных плоскостей, содержащих ее грани:
1) Плоскость основания $(ABC)$ и плоскость основания $(A_1B_1C_1)$.
2) Плоскость боковой грани $(ABB_1A_1)$ и плоскость боковой грани $(DEE_1D_1)$.
3) Плоскость боковой грани $(BCC_1B_1)$ и плоскость боковой грани $(EFF_1E_1)$.
4) Плоскость боковой грани $(CDD_1C_1)$ и плоскость боковой грани $(FAA_1F_1)$.

8.3. Имеются ли параллельные грани у правильной четырехугольной пирамиды (рис. 8.6)?

Рис. 8.6

Чтобы определить, есть ли у правильной четырехугольной пирамиды параллельные грани, необходимо рассмотреть все ее грани и их взаимное расположение. У пирамиды $SABCD$, показанной на рисунке, есть одна грань основания, которой является правильный четырехугольник (квадрат) $ABCD$, и четыре боковые грани в форме равнобедренных треугольников: $SAB$, $SBC$, $SCD$ и $SDA$.

Две грани (плоскости) являются параллельными только в том случае, если они не имеют ни одной общей точки. Проверим все возможные пары граней пирамиды.

Во-первых, рассмотрим плоскость основания $ABCD$ и любую из боковых граней, например, грань $SAB$. Эти две грани имеют общее ребро $AB$, а значит, пересекаются по прямой $AB$. Следовательно, основание не параллельно ни одной из боковых граней.

Во-вторых, рассмотрим боковые грани между собой. Любые две соседние (смежные) боковые грани, например $SAB$ и $SBC$, имеют общее боковое ребро $SB$. Так как они пересекаются, они не могут быть параллельны.

В-третьих, осталось проверить пару противолежащих боковых граней, например $SAB$ и $SCD$. Плоскости этих двух граней имеют как минимум одну общую точку — вершину пирамиды $S$. Две различные плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Таким образом, грани $SAB$ и $SCD$ не параллельны. То же самое верно и для другой пары противолежащих граней, $SDA$ и $SBC$, которые также пересекаются в вершине $S$.

Таким образом, в правильной четырехугольной пирамиде любая пара граней имеет общие точки (либо общее ребро, либо общую вершину), а значит, пересекается. Параллельных граней у нее нет.

Ответ: нет.

8.4. Имеются ли параллельные грани у правильной шестиугольной пирамиды (рис. 8.7)?

Рис. 8.7

У правильной шестиугольной пирамиды, как и у любой другой пирамиды, не существует параллельных граней. Чтобы это доказать, необходимо рассмотреть все возможные пары граней.
Грани пирамиды делятся на два типа: основание (в данном случае — правильный шестиугольник $ABCDEF$) и боковые грани (шесть треугольников $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDE$, $SEF$, $SFA$).

1. Две боковые грани
Все боковые грани пирамиды по определению имеют одну общую точку — вершину пирамиды $S$. Две различные плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Следовательно, никакие две боковые грани не могут быть параллельными.

2. Боковая грань и основание
Каждая боковая грань пересекает плоскость основания по ребру, которое является стороной многоугольника в основании. Например, боковая грань $SAB$ и основание $ABCDEF$ имеют общую прямую, содержащую ребро $AB$. Плоскости, имеющие общую прямую, пересекаются и, следовательно, не являются параллельными.

Таким образом, поскольку ни одна пара граней не является параллельной, у правильной шестиугольной пирамиды нет параллельных граней.
Ответ: Нет, у правильной шестиугольной пирамиды нет параллельных граней.