Страница 51 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Сколько плоскостей, параллельных данной плоскости, можно провести через точку, не принадлежащую этой плоскости?

Этот вопрос касается одной из фундаментальных теорем стереометрии о параллельных плоскостях. Теорема гласит: через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну. Чтобы дать развернутый ответ, необходимо доказать существование и единственность такой плоскости.

Доказательство существования

Пусть нам дана плоскость $\alpha$ и точка $M$, не принадлежащая этой плоскости ($M \notin \alpha$). В плоскости $\alpha$ выберем две любые пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Согласно теореме о существовании прямой, параллельной данной и проходящей через точку вне ее, через точку $M$ можно провести прямую $a'$, параллельную прямой $a$, и прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Прямые $a'$ и $b'$ пересекаются в точке $M$ (поскольку если бы они были параллельны, то и исходные прямые $a$ и $b$ были бы параллельны, что противоречит условию их пересечения) и, следовательно, определяют единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

Теперь воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В нашем случае, прямые $a'$ и $b'$ в плоскости $\beta$ параллельны прямым $a$ и $b$ в плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$). Таким образом, мы доказали, что плоскость, проходящая через точку $M$ и параллельная плоскости $\alpha$, существует.

Доказательство единственности

Теперь докажем, что такая плоскость может быть только одна. Предположим обратное: пусть существует еще одна плоскость, $\gamma$, которая также проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $\alpha$. То есть, у нас есть $M \in \beta$, $M \in \gamma$, $\beta \parallel \alpha$ и $\gamma \parallel \alpha$. Из свойства транзитивности параллельности плоскостей следует, что если две плоскости ($\beta$ и $\gamma$) параллельны третьей плоскости ($\alpha$), то они либо параллельны между собой, либо совпадают. Но плоскости $\beta$ и $\gamma$ не могут быть параллельны, так как они имеют общую точку $M$ (по определению, параллельные плоскости не имеют общих точек). Единственная оставшаяся возможность — это то, что плоскости $\beta$ и $\gamma$ совпадают. Это означает, что наше предположение о существовании второй, отличной от первой, плоскости неверно. Следовательно, плоскость, проходящая через заданную точку параллельно заданной плоскости, является единственной.

Ответ: Через точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести только одну плоскость, параллельную данной плоскости.