Страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Сколько прямых, перпендикулярных данной прямой, можно провести через точку:

а) принадлежащую данной прямой;

б) не принадлежащую данной прямой?

Данная задача рассматривается в рамках евклидовой геометрии на плоскости (планиметрии). Ответ на вопрос основывается на одной из ключевых теорем о перпендикулярных прямых.

а) принадлежащую данной прямой

Пусть дана прямая l и точка A, которая лежит на этой прямой (A ∈ l). Через точку A на прямой l проходит развернутый угол, равный $180^\circ$. Прямая, перпендикулярная l, должна пересекать её в точке A под углом $90^\circ$. Разделить развернутый угол на два смежных прямых угла ($90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$) можно единственным способом. Таким образом, существует только одна прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная прямой l. Это следует из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного через точку на прямой.

Ответ: через точку, принадлежащую данной прямой, можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную данной.

б) не принадлежащую данной прямой

Пусть дана прямая l и точка B, которая не лежит на этой прямой (B ∉ l). Согласно фундаментальной теореме геометрии, из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.

Доказательство единственности можно провести методом от противного. Допустим, что через точку B можно провести две различные прямые, m и n, которые обе перпендикулярны прямой l. Пусть прямая m пересекает l в точке C, а прямая n — в точке D. В этом случае образуется треугольник BCD. По нашему допущению, углы при вершинах C и D этого треугольника прямые, то есть $\angle BCD = 90^\circ$ и $\angle BDC = 90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника BCD получаем: $\angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ$ $\angle CBD + 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ $\angle CBD + 180^\circ = 180^\circ$

Из этого следует, что $\angle CBD = 0^\circ$. Такой угол возможен только если точки B, C и D лежат на одной прямой. Это означает, что прямые m и n совпадают, что противоречит нашему исходному предположению о том, что они различны. Следовательно, наше предположение неверно, и через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.

Ответ: через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную данной.