Страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.11. Попробуйте определить понятие перпендикулярности прямой и плоскости.

Понятие перпендикулярности прямой и плоскости является ключевым в пространственной геометрии (стереометрии) и обобщает идею перпендикулярности двух прямых.

Определение
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна любой прямой, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку пересечения.
Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Если для любой прямой $b$, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $M$ ($b \subset \alpha, M \in b$), выполняется условие, что угол между прямыми $a$ и $b$ равен $90^\circ$ ($a \perp b$), то прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это обозначается как $a \perp \alpha$.

На практике невозможно проверить перпендикулярность прямой ко всем бесконечным прямым, лежащим в плоскости. Поэтому для доказательства используется более удобный и достаточный критерий — признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
Более формально, чтобы доказать, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, достаточно найти в плоскости $\alpha$ две прямые $b$ и $c$ такие, что:
1. Прямые $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha, c \subset \alpha$).
2. Прямые $b$ и $c$ пересекаются ($b \cap c = M$).
3. Прямая $a$ перпендикулярна каждой из этих прямых ($a \perp b$ и $a \perp c$).
Если эти три условия выполнены, то можно утверждать, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Ответ: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку их пересечения. На практике для установления перпендикулярности прямой и плоскости используется признак: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Сколько прямых, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку:

а) принадлежащую этой плоскости;

б) не принадлежащую этой плоскости?

64

Этот вопрос затрагивает одну из ключевых теорем стереометрии, которая формулируется следующим образом: через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Рассмотрим оба случая, указанные в задаче, и дадим развернутое обоснование.

а) принадлежащую этой плоскости

Пусть у нас есть плоскость $ \alpha $ и точка $ A $, которая лежит в этой плоскости ($ A \in \alpha $). Нам нужно выяснить, сколько прямых можно провести через точку $ A $ перпендикулярно плоскости $ \alpha $.

Доказательство:

1. Существование. В плоскости $ \alpha $ через точку $ A $ можно провести две различные пересекающиеся прямые, например $ b $ и $ c $. В пространстве существует прямая $ a $, проходящая через точку $ A $ и перпендикулярная обеим этим прямым. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, $ a \perp \alpha $. Это доказывает, что как минимум одна такая прямая существует.

2. Единственность. Предположим, что через точку $ A $ проходит еще одна прямая $ a' $, также перпендикулярная плоскости $ \alpha $. Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, эти прямые должны быть параллельны друг другу ($ a \parallel a' $). Однако по условию обе прямые проходят через одну и ту же точку $ A $. Две различные параллельные прямые не могут иметь общих точек. Единственный случай, когда они имеют общую точку — это когда они совпадают. Следовательно, $ a $ и $ a' $ — это одна и та же прямая. Это доказывает, что такая прямая может быть только одна.

Таким образом, через точку, лежащую на плоскости, можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную этой плоскости.

Ответ: одна прямая.

б) не принадлежащую этой плоскости

Пусть у нас есть плоскость $ \alpha $ и точка $ B $, которая не лежит в этой плоскости ($ B \notin \alpha $). Нам нужно выяснить, сколько прямых можно провести через точку $ B $ перпендикулярно плоскости $ \alpha $.

Доказательство:

1. Существование. Выберем на плоскости $ \alpha $ произвольную точку $ C $. Как мы установили в пункте (а), через точку $ C $ можно провести единственную прямую $ c $, перпендикулярную плоскости $ \alpha $. Теперь через точку $ B $, не лежащую на прямой $ c $, можно провести прямую $ b $, параллельную прямой $ c $. Согласно теореме (если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости), прямая $ b $ также будет перпендикулярна плоскости $ \alpha $. Это доказывает существование искомой прямой.

2. Единственность. Предположим, что существует еще одна прямая $ b' $, проходящая через точку $ B $ и перпендикулярная плоскости $ \alpha $. Тогда, как и в предыдущем случае, обе прямые $ b $ и $ b' $ будут перпендикулярны одной и той же плоскости $ \alpha $, а значит, они должны быть параллельны ($ b \parallel b' $). Но через точку $ B $ можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой $ c $ (это следует из аксиомы параллельности). Значит, прямые $ b $ и $ b' $ должны совпадать. Это доказывает единственность прямой.

Таким образом, через точку, не лежащую на плоскости, можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную этой плоскости.

Ответ: одна прямая.