Страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость?

2. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

1. Что называется перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость?
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, который соединяет эту точку с точкой на плоскости и при этом лежит на прямой, перпендикулярной данной плоскости.
Более развернуто: пусть дана точка $A$, не принадлежащая плоскости $\alpha$. Через точку $A$ можно провести единственную прямую, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $\alpha$ в точке $H$. Отрезок $AH$ и будет являться перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Точка $H$ при этом называется основанием перпендикуляра.
Ответ: Перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

2. Что называется расстоянием от точки до плоскости?
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.
Более развернуто: если $AH$ – это перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$, то длина этого отрезка $AH$ и есть расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$. Это расстояние является наименьшим из всех возможных расстояний от точки $A$ до любой точки на плоскости $\alpha$. Если точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, то расстояние от нее до плоскости считается равным нулю.
Ответ: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

12.1. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = 5$, $AD = 4$, $AA_1 = 3$. Найдите диагональ $AC_1$.

В задаче дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его измерениями являются длина $AB = 5$, ширина $AD = 4$ и высота $AA_1 = 3$. Необходимо найти длину главной диагонали параллелепипеда $AC_1$.

Для нахождения диагонали прямоугольного параллелепипеда используется теорема, согласно которой квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Обозначим измерения как $a, b, c$, а диагональ как $d$. Формула выглядит так:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

В нашем случае измерениями являются $a = AB = 5$, $b = AD = 4$ и $c = AA_1 = 3$. Подставим эти значения в формулу для нахождения квадрата диагонали $AC_1$:
$AC_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2$

Выполним вычисления:
$AC_1^2 = 5^2 + 4^2 + 3^2$
$AC_1^2 = 25 + 16 + 9$
$AC_1^2 = 41 + 9$
$AC_1^2 = 50$

Теперь, чтобы найти длину самой диагонали $AC_1$, извлечем квадратный корень из полученного результата:
$AC_1 = \sqrt{50}$

Для получения окончательного ответа упростим корень, вынеся множитель из-под знака корня:
$AC_1 = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Ответ: $5\sqrt{2}$

12.2. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 12.6) найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости:

а) $BCC_1$;

б) $BCD_1$.

Рис. 12.6

а) Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Рассмотрим плоскость $BCC_1$. Эта плоскость совпадает с плоскостью грани $BCC_1B_1$. Ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$, так как грань $ABCD$ является квадратом. Ребро $AB$ также перпендикулярно ребру $BB_1$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $AB$. Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости $BCC_1B_1$, она перпендикулярна самой плоскости. Следовательно, длина отрезка $AB$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.
Ответ: $1$.

б) Для нахождения расстояния от точки до плоскости $BCD_1$ введем систему координат. Поместим начало координат в вершину $D$, направив оси $DX$, $DY$, $DZ$ вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. В этой системе координат вершины единичного куба будут иметь следующие координаты: $D(0, 0, 0)$ $A(1, 0, 0)$ $C(0, 1, 0)$ $D_1(0, 0, 1)$ Исходя из этого, найдем координаты вершины $B$. Вектор $\vec{DB}$ равен сумме векторов $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$: $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC}$. Координаты точки $B$ будут $(1, 1, 0)$. Нам нужно найти расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 0)$ и $D_1(0, 0, 1)$. Составим уравнение плоскости $BCD_1$ в виде $ax + by + cz + d = 0$. Подставим в него координаты точек $B$, $C$ и $D_1$: Для $B(1, 1, 0)$: $a(1) + b(1) + c(0) + d = 0 \Rightarrow a + b + d = 0$ Для $C(0, 1, 0)$: $a(0) + b(1) + c(0) + d = 0 \Rightarrow b + d = 0 \Rightarrow b = -d$ Для $D_1(0, 0, 1)$: $a(0) + b(0) + c(1) + d = 0 \Rightarrow c + d = 0 \Rightarrow c = -d$ Подставим $b = -d$ в первое уравнение: $a + (-d) + d = 0 \Rightarrow a = 0$. Итак, мы получили $a=0$, $b=-d$, $c=-d$. Для удобства положим $d=-1$, тогда $a=0$, $b=1$, $c=1$. Уравнение плоскости $BCD_1$ имеет вид: $0x + 1y + 1z - 1 = 0$, или $y + z - 1 = 0$. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$ вычисляется по формуле: $D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до плоскости $y + z - 1 = 0$. Здесь $x_0=1, y_0=0, z_0=0$ и $a=0, b=1, c=1, d=-1$. $D = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

12.3. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ (рис. 12.3), все ребра которой равны 1.

Рис. 12.3

Пусть $SABCD$ — данная правильная четырехугольная пирамида. По условию, все ее ребра равны 1. Это означает, что в основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной 1, а все боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ также равны 1.

Высота пирамиды $SO$ опускается из вершины $S$ в центр основания $O$, который является точкой пересечения диагоналей квадрата $AC$ и $BD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$. В этом треугольнике гипотенузой является боковое ребро $SC$, а катетами — высота пирамиды $SO$ и половина диагонали основания $OC$. По условию, $SC = 1$. Найдем длину катета $OC$.

Для этого сначала найдем длину диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора:$AC^2 = AB^2 + BC^2$$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$$AC = \sqrt{2}$

Поскольку диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, то длина отрезка $OC$ равна половине длины диагонали $AC$:$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $SOC$ и по теореме Пифагора найдем высоту $SO$:$SO^2 + OC^2 = SC^2$$SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1^2$$SO^2 + \frac{2}{4} = 1$$SO^2 + \frac{1}{2} = 1$$SO^2 = 1 - \frac{1}{2}$$SO^2 = \frac{1}{2}$$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, высота пирамиды равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.