Страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.11. Постройте высоту правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF (рис. 12.11).

Рис. 12.11

Построение:

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

По определению, в правильной пирамиде основанием является правильный многоугольник, а ее вершина проецируется в центр этого многоугольника. Это означает, что основание высоты совпадает с центром основания пирамиды.

В данной задаче мы имеем правильную шестиугольную пирамиду $SABCDEF$. Ее основанием является правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Чтобы построить высоту, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти центр основания – правильного шестиугольника $ABCDEF$. Центром правильного шестиугольника является точка пересечения его больших диагоналей. Большие диагонали соединяют противолежащие вершины. В нашем случае это диагонали $AD$, $BE$ и $CF$.

2. Построим две любые большие диагонали, например, $AD$ и $BE$. Для этого соединим отрезками точки $A$ и $D$, а также точки $B$ и $E$.

3. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. Точка $O$ является центром правильного шестиугольника $ABCDEF$.

4. Соединим вершину пирамиды $S$ с найденным центром основания $O$. Полученный отрезок $SO$ и будет являться высотой правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, так как он соединяет вершину пирамиды с центром ее основания и, по определению правильной пирамиды, перпендикулярен плоскости основания $(ABC)$.

Ответ: Высотой пирамиды является отрезок $SO$, где $O$ – точка пересечения больших диагоналей ($AD$, $BE$, $CF$) основания $ABCDEF$.

12.12. Найдите высоту правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 12.11).

Рис. 12.11

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Основанием пирамиды является правильный шестиугольник ABCDEF. Высота пирамиды SO опускается в центр основания O.

Рассмотрим основание пирамиды. В правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой вершины равно стороне шестиугольника. По условию, сторона основания равна 1. Следовательно, расстояние от центра O до вершины A равно $OA = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. В этом треугольнике:

• $SO$ — высота пирамиды $H$, которую необходимо найти. Является катетом.
• $OA$ — расстояние от центра основания до вершины, является вторым катетом. Мы установили, что $OA = 1$.
• $SA$ — боковое ребро пирамиды, является гипотенузой. По условию, $SA = 2$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

Подставим известные значения в формулу:

$2^2 = H^2 + 1^2$

$4 = H^2 + 1$

$H^2 = 4 - 1$

$H^2 = 3$

$H = \sqrt{3}$

Таким образом, высота правильной шестиугольной пирамиды равна $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

12.13. Дворец мира и согласия в г. Нур-Султане имеет форму правильной четырехугольной пирамиды (рис. 12.12), в которой высота равна стороне основания и составляет 62 м. Найдите длину бокового ребра этой пирамиды.

Рис. 12.12

Задача заключается в нахождении длины бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды. В основании такой пирамиды лежит квадрат. Высота пирамиды опускается в центр основания (точку пересечения диагоналей квадрата).

По условию дано:
- Сторона основания (квадрата) $a = 62$ м.
- Высота пирамиды $H = 62$ м.

Боковое ребро (обозначим его как $l$), высота пирамиды $H$ и половина диагонали основания $(\frac{d}{2})$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $H$ и половина диагонали $\frac{d}{2}$ — катетами. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2$

Решение задачи состоит из следующих шагов:

1. Найти длину диагонали основания $d$.
Основание — это квадрат со стороной $a = 62$ м. Диагональ квадрата вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.
$d = 62\sqrt{2}$ м.

2. Найти длину половины диагонали.
Этот отрезок является одним из катетов в нашем прямоугольном треугольнике.
$\frac{d}{2} = \frac{62\sqrt{2}}{2} = 31\sqrt{2}$ м.

3. Найти длину бокового ребра $l$.
Подставим известные значения $H$ и $\frac{d}{2}$ в теорему Пифагора:
$l^2 = 62^2 + (31\sqrt{2})^2$
$l^2 = (2 \cdot 31)^2 + (31^2 \cdot (\sqrt{2})^2)$
$l^2 = 4 \cdot 31^2 + 2 \cdot 31^2$
$l^2 = (4+2) \cdot 31^2$
$l^2 = 6 \cdot 31^2$
$l = \sqrt{6 \cdot 31^2} = 31\sqrt{6}$ м.

Ответ: $31\sqrt{6}$ м.

12.14. Попробуйте определить понятие расстояния между параллельными прямой и плоскостью.

12.14. Пусть даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$, причем $a$ параллельна $\alpha$ ($a || \alpha$). Это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек.
Расстоянием между двумя геометрическими фигурами называется наименьшее из расстояний между точкой одной фигуры и точкой другой фигуры. В случае параллельных прямой и плоскости, расстояние от любой точки прямой до плоскости будет одинаковым. Докажем это.
Выберем на прямой $a$ две произвольные точки $A$ и $B$. Опустим из этих точек перпендикуляры $AA_1$ и $BB_1$ на плоскость $\alpha$ (то есть точки $A_1$ и $B_1$ лежат в плоскости $\alpha$). По определению расстояния от точки до плоскости, длины этих перпендикуляров, $|AA_1|$ и $|BB_1|$, являются расстояниями от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ соответственно.
Поскольку прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу ($AA_1 || BB_1$).
Две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ задают некоторую плоскость $\beta$. Прямая $a$, содержащая отрезок $AB$, лежит в этой плоскости $\beta$. Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $A_1B_1$.
Так как прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то по свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $\alpha$ (прямая $A_1B_1$) параллельна прямой $a$.
Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. В нем противоположные стороны попарно параллельны: $AB || A_1B_1$ и $AA_1 || BB_1$. Следовательно, $ABB_1A_1$ — параллелограмм.
Так как $AA_1 \perp \alpha$, то прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$, в том числе и прямой $A_1B_1$. Значит, угол $\angle AA_1B_1 = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
В прямоугольнике длины противоположных сторон равны, поэтому $|AA_1| = |BB_1|$.
Это доказывает, что расстояние от любой точки прямой $a$ до плоскости $\alpha$ одинаково. На основе этого можно сформулировать определение.
Ответ: Расстоянием между параллельными прямой и плоскостью называется расстояние от произвольной точки этой прямой до этой плоскости.