Страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.1. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14.7) найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $BB_1$;

б) $AA_1$ и $CC_1$;

в) $AA_1$ и $BC$;

г) $AA_1$ и $CD$;

д) $AA_1$ и $BC_1$;

е) $AA_1$ и $CD_1$;

ж) $AA_1$ и $BD$;

з) $AB_1$ и $CD_1$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами единичного куба, в котором длина каждого ребра равна 1, все грани являются квадратами, а смежные грани перпендикулярны.

a) AA₁ и BB₁

Прямые $AA_1$ и $BB_1$ — это параллельные вертикальные ребра куба, принадлежащие одной грани $ABB_1A_1$. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Отрезки $AB$ и $A_1B_1$ перпендикулярны обеим этим прямым. Так как куб единичный, длина ребра $AB$ равна 1.

Ответ: 1.

б) AA₁ и CC₁

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ — это параллельные вертикальные ребра куба. Расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра. Таким перпендикуляром является диагональ основания $AC$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ и, следовательно, прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Аналогично, $CC_1$ перпендикулярно $AC$. Длину $AC$ найдем по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

в) AA₁ и BC

Прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися. Расстояние между ними — это длина их общего перпендикуляра. Ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AA_1$ (так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат) и перпендикулярно ребру $BC$ (так как грань $ABCD$ — квадрат). Следовательно, $AB$ — общий перпендикуляр для прямых $AA_1$ и $BC$. Длина $AB$ равна 1.

Ответ: 1.

г) AA₁ и CD

Прямые $AA_1$ и $CD$ являются скрещивающимися. Аналогично предыдущему пункту, их общим перпендикуляром является ребро $AD$, так как $AD \perp AA_1$ и $AD \perp CD$. Длина ребра $AD$ равна 1.

Ответ: 1.

д) AA₁ и BC₁

Прямые $AA_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися. Прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$. Прямые $BB_1$ и $BC_1$ лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Значит, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $BCC_1B_1$. Расстояние между скрещивающимися прямыми в этом случае равно расстоянию от прямой $AA_1$ до плоскости $BCC_1B_1$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $AA_1$ на эту плоскость, например, отрезка $AB$. Длина $AB$ равна 1.

Ответ: 1.

е) AA₁ и CD₁

Прямые $AA_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Решение аналогично предыдущему. Прямая $AA_1$ параллельна прямой $DD_1$, которая вместе с $CD_1$ лежит в плоскости грани $CDD_1C_1$. Следовательно, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $CDD_1C_1$. Расстояние между прямыми равно расстоянию от прямой $AA_1$ до этой плоскости, которое равно длине ребра $AD$. Длина $AD$ равна 1.

Ответ: 1.

ж) AA₁ и BD

Прямые $AA_1$ и $BD$ являются скрещивающимися. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ и, следовательно, перпендикулярно прямой $BD$, лежащей в этой плоскости. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Пусть $O$ — точка их пересечения. Отрезок $AO$ лежит на прямой $AC$, поэтому $AO \perp BD$. Также $AO$ лежит в плоскости $ABCD$, поэтому $AO \perp AA_1$. Таким образом, отрезок $AO$ является общим перпендикуляром к прямым $AA_1$ и $BD$. Точка $O$ — середина диагонали $AC$. Длина $AC = \sqrt{2}$ (из пункта б), следовательно, длина $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

з) AB₁ и CD₁

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Прямая $AB_1$ лежит в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Прямая $CD_1$ лежит в плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Эти две грани параллельны. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими плоскостями. Расстояние между плоскостями $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ равно длине перпендикулярного им ребра, например, $AD$ или $BC$. Длина этого ребра равна 1.

Ответ: 1.

14.2. У правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 14.8) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC$;

б) $AB$ и $A_1C_1$.

Рис. 14.8

а) AA₁ и BC
По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная, и все ее ребра равны 1. Это значит, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований и их длина равна 1.
Прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися. Расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра.
Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Проведем в равностороннем треугольнике $ABC$ высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Отрезок $AH$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому $AA_1 \perp AH$. По построению, $AH$ является высотой, поэтому $AH \perp BC$.
Так как отрезок $AH$ перпендикулярен обеим прямым ($AA_1$ и $BC$), он является их общим перпендикуляром. Значит, искомое расстояние равно длине отрезка $AH$.
Длину высоты $AH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$:
$d(AA_1, BC) = AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) AB и A₁C₁
Прямые $AB$ и $A_1C_1$ являются скрещивающимися, так как они лежат в параллельных плоскостях оснований ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) и не параллельны друг другу.
Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из прямых до плоскости, которая проходит через другую прямую и параллельна первой.
Найдем расстояние от прямой $AB$ до плоскости, содержащей $A_1C_1$ и параллельной $AB$.
В основании призмы $A_1B_1C_1$ ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$ в основании $ABC$.
Рассмотрим плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$. Эта плоскость содержит прямую $A_1C_1$. Также эта плоскость содержит прямую $A_1B_1$, которая параллельна $AB$. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой прямой, то вся плоскость параллельна этой другой прямой. Следовательно, плоскость $A_1B_1C_1$ параллельна прямой $AB$.
Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $A_1C_1$ равно расстоянию от прямой $AB$ до параллельной ей плоскости $A_1B_1C_1$.
Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $AB$ на плоскость $A_1B_1C_1$. Возьмем точку $A$. Так как призма прямая, то боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1$.
Следовательно, длина отрезка $AA_1$ и есть искомое расстояние. По условию, все ребра призмы равны 1.
$d(AB, A_1C_1) = AA_1 = 1$.
Ответ: 1

14.3. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 14.9) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AB$ и $A_1B_1$;

б) $AB$ и $B_1C_1$;

в) $AA_1$ и $CC_1$;

г) $AA_1$ и $DD_1$.

В основе правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. По условию, все рёбра призмы равны 1.

а) Найдём расстояние между прямыми $AB$ и $A_1B_1$.

Прямые $AB$ и $A_1B_1$ являются соответствующими сторонами нижнего и верхнего оснований правильной призмы. Следовательно, эти прямые параллельны ($AB \parallel A_1B_1$), и они лежат в параллельных плоскостях оснований. Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Так как призма правильная, эта грань является прямоугольником. По условию все рёбра равны 1, значит $AB=AA_1=1$, следовательно, $ABB_1A_1$ — квадрат. Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и прямой $AB$. В то же время, $AA_1$ перпендикулярно ребру $A_1B_1$. Таким образом, отрезок $AA_1$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $A_1B_1$.

Длина ребра $AA_1$ равна 1.

Ответ: 1.

б) Найдём расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.

Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$, а прямая $B_1C_1$ — в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Так как плоскости оснований параллельны, а прямые $AB$ и $B_1C_1$ не параллельны, они являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Рассмотрим боковое ребро $BB_1$. Так как призма правильная, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$ и, следовательно, любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$. Таким образом, $BB_1 \perp AB$.

Аналогично, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ и, следовательно, прямой $B_1C_1$. Таким образом, $BB_1 \perp B_1C_1$.

Поскольку отрезок $BB_1$ перпендикулярен обеим прямым, он является их общим перпендикуляром. Длина ребра $BB_1$ по условию равна 1.

Ответ: 1.

в) Найдём расстояние между прямыми $AA_1$ и $CC_1$.

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ — это боковые рёбра правильной призмы, следовательно, они параллельны. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного им обоим. Так как боковые рёбра перпендикулярны основанию, таким отрезком является отрезок $AC$, соединяющий их основания.

Найдём длину диагонали $AC$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Стороны шестиугольника равны 1 ($AB = BC = 1$). Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, то есть $\angle ABC = 120^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.

Отсюда $AC = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) Найдём расстояние между прямыми $AA_1$ и $DD_1$.

Прямые $AA_1$ и $DD_1$ являются параллельными боковыми рёбрами призмы. Расстояние между ними равно расстоянию между точками $A$ и $D$ в плоскости основания.

Отрезок $AD$ — это большая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. Так как по условию сторона шестиугольника равна 1, то длина диагонали $AD$ равна $2 \cdot 1 = 2$.

Это также можно увидеть, если рассмотреть центр $O$ шестиугольника. Диагональ $AD$ проходит через центр $O$. Длина отрезка от вершины до центра правильного шестиугольника равна его стороне, то есть $AO = OD = 1$. Тогда $AD = AO + OD = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

14.4. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 14.10). Найдите расстояние между прямыми:

а) $AB$ и $C_1D_1$;

б) $AB$ и $C_2D_2$;

в) $AA_2$ и $CC_1$;

г) $AA_2$ и $D_1C_2$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Из условия, что гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами, следует, что все ребра многогранника параллельны трем взаимно перпендикулярным осям.

Пусть точка A будет началом координат, то есть A(0,0,0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy — в направлении, перпендикулярном AB и AA₂, и ось Oz — вдоль ребра AA₂. Исходя из длин ребер, указанных на рисунке, определим координаты вершин, необходимых для решения задачи:

A = (0,0,0)

B = (2,0,0), так как AB = 2 и ребро AB лежит на оси Ox.

A₂ = (0,0,2), так как AA₂ = 2 и ребро AA₂ лежит на оси Oz.

Примем, что ребро BC параллельно оси Oy, тогда C = (2,2,0), так как BC = 2.

Ребро CC₁ параллельно оси Oz, следовательно C₁ = (2,2,1), так как CC₁ = 1.

Ребро C₁D₁ параллельно оси Ox (в отрицательном направлении), следовательно D₁ = (1,2,1), так как C₁D₁ = 1.

Ребро A₂D₂ параллельно оси Oy, следовательно D₂ = (0,2,2), так как A₂D₂ = 2.

Ребро D₂C₂ параллельно оси Ox, следовательно C₂ = (1,2,2), так как D₂C₂ = 1.

Теперь найдем расстояния между указанными прямыми.

а) AB и C₁D₁

Прямая AB проходит через точки A(0,0,0) и B(2,0,0). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{AB} = (2,0,0)$, или, для простоты, $\vec{v}_1 = (1,0,0)$. Эта прямая совпадает с осью Ox.

Прямая C₁D₁ проходит через точки C₁(2,2,1) и D₁(1,2,1). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{C_1D_1} = \vec{D_1} - \vec{C_1} = (1-2, 2-2, 1-1) = (-1,0,0)$. В качестве направляющего вектора можно взять коллинеарный ему вектор $\vec{v}_2 = (1,0,0)$.

Поскольку направляющие векторы прямых коллинеарны ($\vec{v}_1 = \vec{v}_2$), прямые AB и C₁D₁ параллельны. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой. Найдем расстояние от точки D₁(1,2,1) до прямой AB (оси Ox). Расстояние от точки M(x₀,y₀,z₀) до оси Ox вычисляется по формуле $d = \sqrt{y_0^2 + z_0^2}$.

$d = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

б) AB и C₂D₂

Прямая AB, как и в предыдущем пункте, совпадает с осью Ox, ее направляющий вектор $\vec{v}_1 = (1,0,0)$.

Прямая C₂D₂ проходит через точки C₂(1,2,2) и D₂(0,2,2). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{C_2D_2} = \vec{D_2} - \vec{C_2} = (0-1, 2-2, 2-2) = (-1,0,0)$. Направляющий вектор $\vec{v}_2 = (1,0,0)$.

Прямые AB и C₂D₂ параллельны. Найдем расстояние от точки D₂(0,2,2) до прямой AB (оси Ox).

$d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$

в) AA₂ и CC₁

Прямая AA₂ проходит через A(0,0,0) и A₂(0,0,2). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{AA_2} = (0,0,2)$, или $\vec{v}_1 = (0,0,1)$. Эта прямая совпадает с осью Oz.

Прямая CC₁ проходит через C(2,2,0) и C₁(2,2,1). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{CC_1} = \vec{C_1} - \vec{C} = (2-2, 2-2, 1-0) = (0,0,1)$.

Прямые параллельны. Найдем расстояние от точки C(2,2,0) до прямой AA₂ (оси Oz). Расстояние от точки M(x₀,y₀,z₀) до оси Oz вычисляется по формуле $d = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

$d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$

г) AA₂ и D₁C₂

Прямая AA₂ совпадает с осью Oz, ее направляющий вектор $\vec{v}_1 = (0,0,1)$.

Прямая D₁C₂ проходит через D₁(1,2,1) и C₂(1,2,2). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{D_1C_2} = \vec{C_2} - \vec{D_1} = (1-1, 2-2, 2-1) = (0,0,1)$.

Прямые параллельны. Найдем расстояние от точки D₁(1,2,1) до прямой AA₂ (оси Oz).

$d = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$