Номер 14.1, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.1. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14.7) найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $BB_1$;

б) $AA_1$ и $CC_1$;

в) $AA_1$ и $BC$;

г) $AA_1$ и $CD$;

д) $AA_1$ и $BC_1$;

е) $AA_1$ и $CD_1$;

ж) $AA_1$ и $BD$;

з) $AB_1$ и $CD_1$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами единичного куба, в котором длина каждого ребра равна 1, все грани являются квадратами, а смежные грани перпендикулярны.

a) AA₁ и BB₁

Прямые $AA_1$ и $BB_1$ — это параллельные вертикальные ребра куба, принадлежащие одной грани $ABB_1A_1$. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Отрезки $AB$ и $A_1B_1$ перпендикулярны обеим этим прямым. Так как куб единичный, длина ребра $AB$ равна 1.

Ответ: 1.

б) AA₁ и CC₁

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ — это параллельные вертикальные ребра куба. Расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра. Таким перпендикуляром является диагональ основания $AC$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ и, следовательно, прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Аналогично, $CC_1$ перпендикулярно $AC$. Длину $AC$ найдем по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

в) AA₁ и BC

Прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися. Расстояние между ними — это длина их общего перпендикуляра. Ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AA_1$ (так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат) и перпендикулярно ребру $BC$ (так как грань $ABCD$ — квадрат). Следовательно, $AB$ — общий перпендикуляр для прямых $AA_1$ и $BC$. Длина $AB$ равна 1.

Ответ: 1.

г) AA₁ и CD

Прямые $AA_1$ и $CD$ являются скрещивающимися. Аналогично предыдущему пункту, их общим перпендикуляром является ребро $AD$, так как $AD \perp AA_1$ и $AD \perp CD$. Длина ребра $AD$ равна 1.

Ответ: 1.

д) AA₁ и BC₁

Прямые $AA_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися. Прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$. Прямые $BB_1$ и $BC_1$ лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Значит, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $BCC_1B_1$. Расстояние между скрещивающимися прямыми в этом случае равно расстоянию от прямой $AA_1$ до плоскости $BCC_1B_1$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $AA_1$ на эту плоскость, например, отрезка $AB$. Длина $AB$ равна 1.

Ответ: 1.

е) AA₁ и CD₁

Прямые $AA_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Решение аналогично предыдущему. Прямая $AA_1$ параллельна прямой $DD_1$, которая вместе с $CD_1$ лежит в плоскости грани $CDD_1C_1$. Следовательно, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $CDD_1C_1$. Расстояние между прямыми равно расстоянию от прямой $AA_1$ до этой плоскости, которое равно длине ребра $AD$. Длина $AD$ равна 1.

Ответ: 1.

ж) AA₁ и BD

Прямые $AA_1$ и $BD$ являются скрещивающимися. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ и, следовательно, перпендикулярно прямой $BD$, лежащей в этой плоскости. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Пусть $O$ — точка их пересечения. Отрезок $AO$ лежит на прямой $AC$, поэтому $AO \perp BD$. Также $AO$ лежит в плоскости $ABCD$, поэтому $AO \perp AA_1$. Таким образом, отрезок $AO$ является общим перпендикуляром к прямым $AA_1$ и $BD$. Точка $O$ — середина диагонали $AC$. Длина $AC = \sqrt{2}$ (из пункта б), следовательно, длина $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

з) AB₁ и CD₁

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Прямая $AB_1$ лежит в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Прямая $CD_1$ лежит в плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Эти две грани параллельны. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими плоскостями. Расстояние между плоскостями $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ равно длине перпендикулярного им ребра, например, $AD$ или $BC$. Длина этого ребра равна 1.

Ответ: 1.