Номер 14.5, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.5. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14.7) найдите расстояние между прямыми $AC_1$ и $BC$.

Рис. 14.7

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BC$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$. Так как куб единичный, его ребро равно 1.

В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:

$A(1, 0, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D(0, 0, 0)$, $C_1(0, 1, 1)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой. Найдем расстояние от прямой $BC$ до плоскости $\alpha$, которая проходит через прямую $AC_1$ и параллельна прямой $BC$.

Поскольку ребро $BC$ параллельно ребру $AD$ (так как $ABCD$ — квадрат), то прямая $BC$ параллельна плоскости $(ADC_1)$, которая содержит прямую $AD$ и точку $C_1$. Прямая $AC_1$ также лежит в этой плоскости, так как проходит через точки $A$ и $C_1$, которые определяют эту плоскость вместе с точкой $D$. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой $BC$ (например, точки $B$) до плоскости $(ADC_1)$.

Составим уравнение плоскости $(ADC_1)$. Общий вид уравнения плоскости: $ax + by + cz + d = 0$.

1. Так как плоскость проходит через начало координат $D(0, 0, 0)$, при подстановке координат в уравнение получаем $d=0$.

2. Плоскость проходит через точку $A(1, 0, 0)$. Подставляем ее координаты в уравнение $ax + by + cz = 0$: $a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0$, откуда $a=0$.

3. Плоскость проходит через точку $C_1(0, 1, 1)$. Подставляем ее координаты в уравнение $by + cz = 0$: $b \cdot 1 + c \cdot 1 = 0$, откуда $b = -c$.

Положим $c = -1$, тогда $b = 1$. Уравнение плоскости $(ADC_1)$ принимает вид $y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1, 1, 0)$ до плоскости $y - z = 0$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для плоскости $0x + 1y - 1z + 0 = 0$ и точки $B(1, 1, 0)$ имеем:

$\rho = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.