Вопросы, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется ортогональной проекцией точки на плоскость?

2. Что называется ортогональным проектированием на плоскость?

3. Сформулируйте свойства ортогонального проектирования.

4. Что называется наклонной?

5. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

1. Что называется ортогональной проекцией точки на плоскость?
Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$. Ортогональной (или прямоугольной) проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha$ называется точка $A_1$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Если прямая, проходящая через точку $A$, перпендикулярна плоскости $\alpha$ и пересекает ее в точке $A_1$, то $A_1$ и есть проекция. Если точка $A$ уже лежит в плоскости $\alpha$, то ее проекцией считается сама точка $A$. Отрезок $AA_1$ называется перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $\alpha$.
Ответ: Ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

2. Что называется ортогональным проектированием на плоскость?
Ортогональным проектированием на плоскость называется такое преобразование пространства, при котором каждой точке пространства сопоставляется ее ортогональная проекция на данную плоскость. Если мы имеем некоторую пространственную фигуру $F$, то ее ортогональной проекцией на плоскость $\alpha$ будет являться множество $F_1$, состоящее из ортогональных проекций всех точек фигуры $F$. Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования, когда направление проектирования перпендикулярно плоскости проекций.
Ответ: Ортогональное проектирование на плоскость — это отображение пространства на эту плоскость, при котором каждая точка пространства сопоставляется со своей ортогональной проекцией на эту плоскость.

3. Сформулируйте свойства ортогонального проектирования.
Основные свойства ортогонального проектирования на плоскость:
1. Проекцией прямой является прямая. Исключение составляет случай, когда прямая перпендикулярна плоскости проекции — тогда ее проекцией является точка.
2. Проекцией отрезка является отрезок. Длина проекции отрезка не превышает длины самого отрезка.
3. Параллельные прямые проектируются в параллельные прямые или в одну прямую.
4. При ортогональном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых. Если точка $C$ делит отрезок $AB$ в отношении $AC:CB = k$, то ее проекция $C_1$ делит проекцию отрезка $A_1B_1$ в том же отношении: $A_1C_1:C_1B_1 = k$.
5. Площадь проекции плоского многоугольника $S_{пр}$ связана с площадью самого многоугольника $S$ формулой $S_{пр} = S \cdot \cos(\varphi)$, где $\varphi$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции ($0 \le \varphi \le 90^\circ$).
Ответ: Свойства ортогонального проектирования включают: проекция прямой есть прямая (или точка); проекция сохраняет параллельность прямых и отношение длин отрезков на параллельных прямых; площадь проекции многоугольника равна произведению его площади на косинус угла между плоскостями.

4. Что называется наклонной?
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Пусть дана точка $A$ вне плоскости $\alpha$. Отрезок $AM$, где $M$ — любая точка плоскости $\alpha$, называется наклонной, если он не перпендикулярен плоскости $\alpha$. Точка $A$ называется основанием наклонной, взятым вне плоскости, а точка $M$ — основанием наклонной на плоскости. Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра ($A_1$) и основание наклонной ($M$), называется проекцией наклонной на плоскость $\alpha$.
Ответ: Наклонная к плоскости — это любой отрезок, проведенный из точки, не лежащей в плоскости, к точке этой плоскости, и не являющийся перпендикуляром.

5. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
Теорема о трех перпендикулярах устанавливает связь между наклонной, ее проекцией и прямой, лежащей в плоскости проекции.
Прямая теорема: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Рассмотрим перпендикуляр $AH$ к плоскости $\alpha$, наклонную $AM$ и ее проекцию $HM$. Если прямая $a$, лежащая в плоскости $\alpha$ и проходящая через точку $M$, перпендикулярна проекции $HM$ (т.е. $a \perp HM$), то она перпендикулярна и самой наклонной $AM$ (т.е. $a \perp AM$).
Обратная теорема: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.
То есть, если прямая $a$ в плоскости $\alpha$ перпендикулярна наклонной $AM$, то она перпендикулярна и ее проекции $HM$.
Ответ: Теорема о трех перпендикулярах гласит, что прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.