Номер 14.7, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.7. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ (рис. 14.9) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $B_1 C_1$;

б) $AA_1$ и $C_1 D_1$;

в) $AA_1$ и $CD_1$;

г) $AA_1$ и $DE_1$;

д) $AA_1$ и $BD_1$.

В условии задачи дана правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) являются правильными шестиугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны основаниям и равны 1.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом проекций. Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, расстояние между прямой $AA_1$ и любой другой скрещивающейся с ней прямой $L$ равно расстоянию от точки $A$ (которая является проекцией всей прямой $AA_1$ на плоскость основания) до проекции прямой $L$ на ту же плоскость основания $ABCDEF$.

Вспомним свойства правильного шестиугольника со стороной $a=1$:

• Все внутренние углы равны $120^\circ$.
• Малая диагональ (соединяющая вершины через одну, например $AC$) имеет длину $a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• Большая диагональ (соединяющая противоположные вершины, например $AD$) имеет длину $2a = 2$.
• Противоположные стороны параллельны (например, $AB \parallel DE$).

а) AA₁ и BC₁
Проекцией прямой $AA_1$ на плоскость основания $ABCDEF$ является точка $A$. Проекцией прямой $BC_1$ на эту же плоскость является прямая $BC$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до прямой, содержащей отрезок $BC$.В плоскости основания рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle ABC = 120^\circ$. Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ — это длина высоты, опущенной из вершины $A$ на прямую $BC$. Эта высота $h$ может быть найдена как $h = AB \cdot \sin(180^\circ - \angle ABC) = AB \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) AA₁ и C₁D₁
Проекцией прямой $AA_1$ на плоскость основания является точка $A$. Проекцией прямой $C_1D_1$ является прямая $CD$. Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CD$ в плоскости основания.В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $CD$ параллельна стороне $AF$. Поскольку точка $A$ лежит на прямой $AF$, расстояние от точки $A$ до прямой $CD$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AF$ и $CD$. Это расстояние равно сумме длин двух апофем (высот равносторонних треугольников, из которых состоит шестиугольник), проведенных из центра шестиугольника к сторонам $AF$ и $CD$. Длина апофемы равна $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, расстояние между прямыми $AF$ и $CD$ равно $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) AA₁ и CD₁
Проекцией прямой $AA_1$ на плоскость основания является точка $A$. Проекцией прямой $CD_1$ является прямая $CD$. Задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до прямой $CD$. Это в точности та же задача, что и в пункте б).
Ответ: $\sqrt{3}$.

г) AA₁ и DE₁
Проекцией прямой $AA_1$ на плоскость основания является точка $A$. Проекцией прямой $DE_1$ является прямая $DE$. Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $DE$.В правильном шестиугольнике сторона $DE$ параллельна стороне $AB$. Так как точка $A$ лежит на прямой $AB$, расстояние от точки $A$ до прямой $DE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $DE$. Аналогично пункту б), это расстояние равно $a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

д) AA₁ и BD₁
Проекцией прямой $AA_1$ на плоскость основания является точка $A$. Проекцией прямой $BD_1$ является прямая $BD$. Задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до прямой $BD$.Рассмотрим треугольник $ABD$ в плоскости основания. Его стороны:

• $AB = 1$ (сторона шестиугольника)
• $AD = 2$ (большая диагональ шестиугольника)
• $BD = \sqrt{3}$ (малая диагональ шестиугольника)