Номер 14.3, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.3. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 14.9) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AB$ и $A_1B_1$;

б) $AB$ и $B_1C_1$;

в) $AA_1$ и $CC_1$;

г) $AA_1$ и $DD_1$.

В основе правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. По условию, все рёбра призмы равны 1.

а) Найдём расстояние между прямыми $AB$ и $A_1B_1$.

Прямые $AB$ и $A_1B_1$ являются соответствующими сторонами нижнего и верхнего оснований правильной призмы. Следовательно, эти прямые параллельны ($AB \parallel A_1B_1$), и они лежат в параллельных плоскостях оснований. Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Так как призма правильная, эта грань является прямоугольником. По условию все рёбра равны 1, значит $AB=AA_1=1$, следовательно, $ABB_1A_1$ — квадрат. Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и прямой $AB$. В то же время, $AA_1$ перпендикулярно ребру $A_1B_1$. Таким образом, отрезок $AA_1$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $A_1B_1$.

Длина ребра $AA_1$ равна 1.

Ответ: 1.

б) Найдём расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.

Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$, а прямая $B_1C_1$ — в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Так как плоскости оснований параллельны, а прямые $AB$ и $B_1C_1$ не параллельны, они являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Рассмотрим боковое ребро $BB_1$. Так как призма правильная, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$ и, следовательно, любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$. Таким образом, $BB_1 \perp AB$.

Аналогично, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ и, следовательно, прямой $B_1C_1$. Таким образом, $BB_1 \perp B_1C_1$.

Поскольку отрезок $BB_1$ перпендикулярен обеим прямым, он является их общим перпендикуляром. Длина ребра $BB_1$ по условию равна 1.

Ответ: 1.

в) Найдём расстояние между прямыми $AA_1$ и $CC_1$.

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ — это боковые рёбра правильной призмы, следовательно, они параллельны. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного им обоим. Так как боковые рёбра перпендикулярны основанию, таким отрезком является отрезок $AC$, соединяющий их основания.

Найдём длину диагонали $AC$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Стороны шестиугольника равны 1 ($AB = BC = 1$). Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, то есть $\angle ABC = 120^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.

Отсюда $AC = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) Найдём расстояние между прямыми $AA_1$ и $DD_1$.

Прямые $AA_1$ и $DD_1$ являются параллельными боковыми рёбрами призмы. Расстояние между ними равно расстоянию между точками $A$ и $D$ в плоскости основания.

Отрезок $AD$ — это большая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. Так как по условию сторона шестиугольника равна 1, то длина диагонали $AD$ равна $2 \cdot 1 = 2$.

Это также можно увидеть, если рассмотреть центр $O$ шестиугольника. Диагональ $AD$ проходит через центр $O$. Длина отрезка от вершины до центра правильного шестиугольника равна его стороне, то есть $AO = OD = 1$. Тогда $AD = AO + OD = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.