Номер 13.5, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 13. Расстояния между параллельными прямой и плоскостью и между двумя параллельными плоскостями. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 13.5, страница 75.

Условия.

13.5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между:

а) прямой $BB_1$ и плоскостью $ACC_1$;

б) прямой $AB$ и плоскостью $CDA_1$.

Решение.

Решение 2.

а) В единичном кубе ребро равно 1. Прямая $BB_1$ параллельна ребру $AA_1$. Ребро $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1$ (которая является диагональным сечением $ACC_1A_1$). Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ACC_1$. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости. Найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.
В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$, делясь пополам. Таким образом, отрезок $BO$ перпендикулярен диагонали $AC$ ($BO \perp AC$).
Ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $BO$ ($AA_1 \perp BO$).
Поскольку отрезок $BO$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1$, он перпендикулярен всей плоскости $ACC_1$. Значит, длина отрезка $BO$ и есть искомое расстояние.
Найдем длину $BO$. Диагональ основания $BD$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Точка $O$ является серединой диагонали $BD$, поэтому $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Ребро $AB$ параллельно ребру $CD$. Прямая $CD$ лежит в плоскости $CDA_1$. Следовательно, прямая $AB$ параллельна плоскости $CDA_1$. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости. Найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $CDA_1$.
Пусть $M$ — середина диагонали $A_1D$ грани $ADD_1A_1$. Докажем, что отрезок $AM$ является перпендикуляром из точки $A$ к плоскости $CDA_1$. Для этого нужно показать, что $AM$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в этой плоскости, например, $CD$ и $A_1D$.
1. Ребро $CD$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, так как $CD \perp AD$ и $CD \perp DD_1$. Отрезок $AM$ полностью лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$. Следовательно, $CD \perp AM$.
2. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Это квадрат. Рассмотрим треугольники $\triangle AA_1M$ и $\triangle ADM$. У них сторона $AM$ общая, $A_1A = AD = 1$ (как ребра куба), $A_1M = DM$ (так как $M$ — середина $A_1D$). Следовательно, треугольники $\triangle AA_1M$ и $\triangle ADM$ равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle A_1MA = \angle DMA$. Эти углы — смежные, их сумма равна $180^\circ$. Значит, $\angle DMA = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Таким образом, $AM \perp A_1D$.
Поскольку $AM$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($CD$ и $A_1D$) в плоскости $CDA_1$, то $AM$ перпендикулярен этой плоскости, и его длина является искомым расстоянием.
Найдем длину $AM$. В грани $ADD_1A_1$ диагональ $A_1D = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Отрезок $DM = \frac{1}{2}A_1D = \frac{\sqrt{2}}{2}$. В треугольнике $ADM$ угол $\angle D = 45^\circ$. Можно найти $AM$ по теореме косинусов, либо из прямоугольного треугольника $\triangle ADM$, который мы доказали не является прямоугольным, мы доказали что $\angle DMA = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADM$ (с прямым углом $M$). По теореме Пифагора: $AD^2 = AM^2 + DM^2$.
$1^2 = AM^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$
$1 = AM^2 + \frac{2}{4}$
$AM^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$AM = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.