Номер 13.2, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.2. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 13.8). Найдите расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Рис. 13.8

13.2. По условию, $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $) являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Требуется найти расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Расстояние между прямой и плоскостью определяется, если прямая параллельна плоскости. В противном случае расстояние равно нулю.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром призмы. Прямая $BB_1$ также является боковым ребром и лежит в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. В любой призме боковые ребра параллельны друг другу, следовательно, $AA_1 \parallel BB_1$.

Поскольку прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, которая лежит в плоскости $BCC_1$, то прямая $AA_1$ параллельна плоскости $BCC_1$ (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Выберем точку $A$ на прямой $AA_1$ и найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Так как призма правильная, она является прямой призмой, то есть ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, плоскость боковой грани $BCC_1B_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

Чтобы найти расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$, нужно из точки $A$ в плоскости основания $ABC$ провести перпендикуляр к линии пересечения этих плоскостей, то есть к прямой $BC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Таким образом, $AH$ — это высота в треугольнике $ABC$, проведенная к стороне $BC$.

Так как $AH$ лежит в плоскости $ABC$ и $AH \perp BC$, а плоскость $ABC$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$, то $AH$ является перпендикуляром ко всей плоскости $BCC_1$. Следовательно, длина отрезка $AH$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим основание призмы — равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB = BC = AC = 1$. Отрезок $AH$ является его высотой.

Длину высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона $a=1$, поэтому длина высоты $AH$ равна:

$AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.