Номер 13.1, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 13.7) найдите расстояние между:

а) прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$;

б) прямой $AB_1$ и плоскостью $CDD_1$.

а) Найдём расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$.
В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямая $AA_1$ является боковым ребром, а плоскость $BCC_1$ совпадает с плоскостью боковой грани $BCC_1B_1$.
По свойству куба, боковые ребра параллельны, следовательно, $AA_1 \parallel BB_1$. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $BCC_1$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $BCC_1$.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости. Выберем точку $A$ на прямой $AA_1$. Искомое расстояние будет равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $BCC_1$.
В основании куба лежит квадрат $ABCD$, поэтому $AB \perp BC$. Ребро $AB$ также перпендикулярно боковому ребру $BB_1$, так как $BB_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$. Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости $BCC_1$, она перпендикулярна и самой плоскости $BCC_1$.
Следовательно, длина отрезка $AB$ является расстоянием от точки $A$ до плоскости $BCC_1$. Так как куб единичный, длина его ребра $AB$ равна 1.
Ответ: 1.

б) Найдём расстояние между прямой $AB_1$ и плоскостью $CDD_1$.
Прямая $AB_1$ является диагональю передней грани куба $ABB_1A_1$. Плоскость $CDD_1$ совпадает с плоскостью задней грани $CDD_1C_1$.
В кубе противоположные грани параллельны, поэтому плоскость передней грани $(ABB_1)$ параллельна плоскости задней грани $(CDD_1)$.
Прямая $AB_1$ полностью лежит в плоскости $(ABB_1)$. Если прямая лежит в одной из двух параллельных плоскостей, то она параллельна второй плоскости. Отсюда следует, что $AB_1 \parallel (CDD_1)$.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Выберем точку $A$ на прямой $AB_1$. Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до плоскости $CDD_1$.
Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $CD$ (как стороны квадрата $ABCD$). Ребро $AD$ также перпендикулярно боковому ребру $DD_1$, так как $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CD$ и $DD_1$) в плоскости $CDD_1$, она перпендикулярна и самой плоскости $CDD_1$.
Следовательно, длина отрезка $AD$ является расстоянием от точки $A$ до плоскости $CDD_1$. Так как куб единичный, длина его ребра $AD$ равна 1.
Ответ: 1.