Номер 13.4, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.4. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 13.10). Найдите расстояние между плоскостями:

а) $ABB_1$ и $CDD_2$;

б) $ADD_2$ и $BCC_1$;

в) $ADD_2$ и $A_1D_1C_2$;

г) $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Рис. 13.10

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Поместим точку $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ (которое подразумевается, исходя из того, что все грани являются многоугольниками с прямыми углами), и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_2$.

Исходя из длин ребер, указанных на рисунке, определим координаты вершин многогранника:

• $A = (0,0,0)$
• $AB=2 \implies B = (2,0,0)$
• $AA_2=2 \implies A_2 = (0,0,2)$
• Грань $AA_2D_2D$ — прямоугольник (квадрат), и $A_2D_2=2 \implies AD=2$. Следовательно, скрытая вершина $D = (0,2,0)$, а вершина $D_2 = (0,2,2)$.
• $BC=2$. Ребро $BC$ перпендикулярно $AB$, значит, оно параллельно оси $Oy$. Следовательно, $C = (2,2,0)$.
• $C_1C=1$. Вершина $C_1$ находится над $C$ на высоте 1. Следовательно, $C_1 = (2,2,1)$.
• Горизонтальная грань-ступенька $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом со стороной 1. Это следует из того, что $D_2C_2=1$ (значит, и $D_1C_1=1$) и $B_1C_1=1$. Зная координаты $C_1$, находим остальные вершины квадрата: $D_1=(1,2,1)$, $B_1=(2,1,1)$ и $A_1=(1,1,1)$.
• Вершина $C_2$ лежит на верхней грани ($z=2$). $D_2C_2=1$ и $D_2C_2 \parallel Ox$. $D_2=(0,2,2) \implies C_2=(1,2,2)$.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями, заданными уравнениями $ax+by+cz+d_1=0$ и $ax+by+cz+d_2=0$, вычисляется по формуле $d = \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. В нашем случае плоскости будут параллельны координатным плоскостям, что упрощает расчет.

а) Найдите расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $CDD_2$

Плоскость $ABB_1$ — это плоскость, содержащая грань многогранника, к которой принадлежат точки $A$, $B$, $B_1$. Это передняя грань, лежащая в плоскости $y=0$. Уравнение этой плоскости: $y=0$.

Плоскость $CDD_2$ — это плоскость, содержащая грань многогранника, к которой принадлежат точки $C$, $D$, $D_2$. Это задняя грань, лежащая в плоскости $y=2$. Координаты точек: $C(2,2,0)$, $D(0,2,0)$, $D_2(0,2,2)$. Все они имеют координату $y=2$. Уравнение этой плоскости: $y=2$.

Плоскости $y=0$ и $y=2$ параллельны. Расстояние между ними равно $|2-0|=2$.

Ответ: 2.

б) Найдите расстояние между плоскостями $ADD_2$ и $BCC_1$

Плоскость $ADD_2$ — это левая боковая грань многогранника. Ее точки $A(0,0,0)$, $D(0,2,0)$, $D_2(0,2,2)$ лежат в плоскости $x=0$. Уравнение этой плоскости: $x=0$.

Плоскость $BCC_1$ — это правая боковая грань многогранника. Ее точки $B(2,0,0)$, $C(2,2,0)$, $C_1(2,2,1)$ лежат в плоскости $x=2$. Уравнение этой плоскости: $x=2$.

Плоскости $x=0$ и $x=2$ параллельны. Расстояние между ними равно $|2-0|=2$.

Ответ: 2.

в) Найдите расстояние между плоскостями $ADD_2$ и $A_1D_1C_2$

Плоскость $ADD_2$, как мы уже определили в пункте б), задается уравнением $x=0$.

Плоскость $A_1D_1C_2$ — это внутренняя вертикальная грань, образовавшаяся из-за "выреза" в многограннике. Координаты ее точек $A_1(1,1,1)$, $D_1(1,2,1)$, $C_2(1,2,2)$. Все они имеют координату $x=1$. Уравнение этой плоскости: $x=1$.

Плоскости $x=0$ и $x=1$ параллельны. Расстояние между ними равно $|1-0|=1$.

Ответ: 1.

г) Найдите расстояние между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$

Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания многогранника. Точки $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(2,2,0)$ лежат в плоскости $z=0$. Уравнение этой плоскости: $z=0$.

Плоскость $A_1B_1C_1$ — это плоскость горизонтальной "ступеньки". Точки $A_1(1,1,1)$, $B_1(2,1,1)$, $C_1(2,2,1)$ лежат в плоскости $z=1$. Уравнение этой плоскости: $z=1$.

Плоскости $z=0$ и $z=1$ параллельны. Расстояние между ними равно $|1-0|=1$.

Ответ: 1.