Страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.2. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 13.8). Найдите расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Рис. 13.8

13.2. По условию, $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $) являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Требуется найти расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Расстояние между прямой и плоскостью определяется, если прямая параллельна плоскости. В противном случае расстояние равно нулю.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром призмы. Прямая $BB_1$ также является боковым ребром и лежит в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. В любой призме боковые ребра параллельны друг другу, следовательно, $AA_1 \parallel BB_1$.

Поскольку прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, которая лежит в плоскости $BCC_1$, то прямая $AA_1$ параллельна плоскости $BCC_1$ (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Выберем точку $A$ на прямой $AA_1$ и найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Так как призма правильная, она является прямой призмой, то есть ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, плоскость боковой грани $BCC_1B_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

Чтобы найти расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$, нужно из точки $A$ в плоскости основания $ABC$ провести перпендикуляр к линии пересечения этих плоскостей, то есть к прямой $BC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Таким образом, $AH$ — это высота в треугольнике $ABC$, проведенная к стороне $BC$.

Так как $AH$ лежит в плоскости $ABC$ и $AH \perp BC$, а плоскость $ABC$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$, то $AH$ является перпендикуляром ко всей плоскости $BCC_1$. Следовательно, длина отрезка $AH$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим основание призмы — равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB = BC = AC = 1$. Отрезок $AH$ является его высотой.

Длину высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона $a=1$, поэтому длина высоты $AH$ равна:

$AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

13.3. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 13.9). Найдите расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью:

В условии дана правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1, а боковые ребра (например, $AA_1$) перпендикулярны основанию и имеют длину 1. Требуется найти расстояние от прямой $AA_1$ до различных плоскостей.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром и параллельна другим боковым ребрам ($BB_1, CC_1$ и т.д.). Каждая из указанных в задаче плоскостей содержит как минимум одно боковое ребро, следовательно, прямая $AA_1$ параллельна каждой из этих плоскостей. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Для удобства выберем точку $A$, принадлежащую прямой $AA_1$.

Кроме того, все указанные плоскости содержат боковые ребра, перпендикулярные плоскости основания $ABCDEF$. Это значит, что плоскости "вертикальны". Расстояние от точки $A$, лежащей в основании, до такой вертикальной плоскости равно расстоянию от точки $A$ до прямой, по которой эта плоскость пересекает основание $ABCDEF$.

Таким образом, задача сводится к нахождению на плоскости основания расстояний от вершины $A$ до прямых, содержащих отрезки $BC, CD, DE, BD, BE, CE, CF$.

Вспомогательные данные для правильного шестиугольника со стороной $a=1$:

• Длина короткой диагонали (например, $AC$): $d_s = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• Длина большой диагонали (например, $AD$): $d_l = 2a = 2$.

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BC$ в плоскости основания. Рассмотрим $\triangle ABC$. Он равнобедренный со сторонами $AB=BC=1$ и углом при вершине $\angle ABC = 120^\circ$. Расстояние от $A$ до прямой $BC$ — это высота $h_A$ треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$. Площадь $\triangle ABC$ равна $S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} BC \cdot h_A$. Отсюда $h_A = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/4)}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CD$. Рассмотрим $\triangle ACD$. Его стороны: $AC = \sqrt{3}$ (короткая диагональ), $CD=1$ (сторона шестиугольника) и $AD=2$ (большая диагональ). Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: $AC^2 + CD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. $AD^2 = 2^2 = 4$. Поскольку $AC^2 + CD^2 = AD^2$, $\triangle ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, отрезок $AC$ перпендикулярен прямой $CD$. Расстояние от точки $A$ до прямой $CD$ равно длине отрезка $AC$.

Ответ: $\sqrt{3}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $DE$. В силу симметрии правильного шестиугольника относительно диагонали $AD$, расстояние от $A$ до прямой $DE$ равно расстоянию от $A$ до прямой $CD$. Также можно рассмотреть $\triangle ADE$, стороны которого $AD=2$, $DE=1$, $AE=\sqrt{3}$. Так как $AE^2+DE^2 = (\sqrt{3})^2+1^2 = 4 = AD^2$, треугольник $ADE$ прямоугольный с прямым углом при вершине $E$. Значит, $AE \perp DE$, и расстояние от $A$ до прямой $DE$ равно длине $AE$.

Ответ: $\sqrt{3}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BD$. Рассмотрим $\triangle ABD$. Его стороны: $AB=1$, $AD=2$, $BD=\sqrt{3}$. Проверяем: $AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1+3=4$. $AD^2=2^2=4$. Следовательно, $\triangle ABD$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Значит, $AB \perp BD$, и расстояние от $A$ до прямой $BD$ равно длине $AB$.

Ответ: $1$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BE$. Рассмотрим $\triangle ABE$. Его стороны: $AB=1$, $AE=\sqrt{3}$, $BE=2$. Проверяем: $AB^2+AE^2 = 1^2+(\sqrt{3})^2 = 4$. $BE^2=2^2=4$. Следовательно, $\triangle ABE$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$. Искомое расстояние — это высота $h_A$, опущенная из вершины $A$ на гипотенузу $BE$. Площадь $\triangle ABE$ равна $S = \frac{1}{2} AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Также $S = \frac{1}{2} BE \cdot h_A$. Отсюда $h_A = \frac{2S}{BE} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/2)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BF$. Рассмотрим $\triangle ABF$. Он равнобедренный, $AB = AF = 1$, а угол между ними $\angle FAB = 120^\circ$. Углы при основании $BF$ равны $\angle ABF = \angle AFB = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$. Искомое расстояние — это высота $h$, опущенная из вершины $A$ на прямую $BF$. Из прямоугольного треугольника, образованного этой высотой, стороной $AF$ и частью прямой $BF$, находим: $h = AF \cdot \sin(\angle AFB) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CE$. Рассмотрим $\triangle ACE$. Стороны $AC$ и $AE$ — это короткие диагонали, $AC=AE=\sqrt{3}$. Сторона $CE$ соединяет вершины через одну, так же как $AC$ и $AE$, значит $CE=\sqrt{3}$. Таким образом, $\triangle ACE$ является равносторонним со стороной $\sqrt{3}$. Искомое расстояние — это высота этого треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $s$ равна $h = s\frac{\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $h = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CF$. Рассмотрим $\triangle ACF$. Его стороны: $AF=1$, $AC=\sqrt{3}$, $CF=2$. Проверяем: $AF^2 + AC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$. $CF^2 = 2^2 = 4$. Следовательно, $\triangle ACF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Искомое расстояние — это высота $h_A$, опущенная из вершины $A$ на гипотенузу $CF$. Площадь $\triangle ACF$ равна $S = \frac{1}{2} AF \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Также $S = \frac{1}{2} CF \cdot h_A$. Отсюда $h_A = \frac{2S}{CF} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/2)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

13.4. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 13.10). Найдите расстояние между плоскостями:

а) $ABB_1$ и $CDD_2$;

б) $ADD_2$ и $BCC_1$;

в) $ADD_2$ и $A_1D_1C_2$;

г) $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Рис. 13.10

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Поместим точку $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ (которое подразумевается, исходя из того, что все грани являются многоугольниками с прямыми углами), и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_2$.

Исходя из длин ребер, указанных на рисунке, определим координаты вершин многогранника:

• $A = (0,0,0)$
• $AB=2 \implies B = (2,0,0)$
• $AA_2=2 \implies A_2 = (0,0,2)$
• Грань $AA_2D_2D$ — прямоугольник (квадрат), и $A_2D_2=2 \implies AD=2$. Следовательно, скрытая вершина $D = (0,2,0)$, а вершина $D_2 = (0,2,2)$.
• $BC=2$. Ребро $BC$ перпендикулярно $AB$, значит, оно параллельно оси $Oy$. Следовательно, $C = (2,2,0)$.
• $C_1C=1$. Вершина $C_1$ находится над $C$ на высоте 1. Следовательно, $C_1 = (2,2,1)$.
• Горизонтальная грань-ступенька $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом со стороной 1. Это следует из того, что $D_2C_2=1$ (значит, и $D_1C_1=1$) и $B_1C_1=1$. Зная координаты $C_1$, находим остальные вершины квадрата: $D_1=(1,2,1)$, $B_1=(2,1,1)$ и $A_1=(1,1,1)$.
• Вершина $C_2$ лежит на верхней грани ($z=2$). $D_2C_2=1$ и $D_2C_2 \parallel Ox$. $D_2=(0,2,2) \implies C_2=(1,2,2)$.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями, заданными уравнениями $ax+by+cz+d_1=0$ и $ax+by+cz+d_2=0$, вычисляется по формуле $d = \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. В нашем случае плоскости будут параллельны координатным плоскостям, что упрощает расчет.

а) Найдите расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $CDD_2$

Плоскость $ABB_1$ — это плоскость, содержащая грань многогранника, к которой принадлежат точки $A$, $B$, $B_1$. Это передняя грань, лежащая в плоскости $y=0$. Уравнение этой плоскости: $y=0$.

Плоскость $CDD_2$ — это плоскость, содержащая грань многогранника, к которой принадлежат точки $C$, $D$, $D_2$. Это задняя грань, лежащая в плоскости $y=2$. Координаты точек: $C(2,2,0)$, $D(0,2,0)$, $D_2(0,2,2)$. Все они имеют координату $y=2$. Уравнение этой плоскости: $y=2$.

Плоскости $y=0$ и $y=2$ параллельны. Расстояние между ними равно $|2-0|=2$.

Ответ: 2.

б) Найдите расстояние между плоскостями $ADD_2$ и $BCC_1$

Плоскость $ADD_2$ — это левая боковая грань многогранника. Ее точки $A(0,0,0)$, $D(0,2,0)$, $D_2(0,2,2)$ лежат в плоскости $x=0$. Уравнение этой плоскости: $x=0$.

Плоскость $BCC_1$ — это правая боковая грань многогранника. Ее точки $B(2,0,0)$, $C(2,2,0)$, $C_1(2,2,1)$ лежат в плоскости $x=2$. Уравнение этой плоскости: $x=2$.

Плоскости $x=0$ и $x=2$ параллельны. Расстояние между ними равно $|2-0|=2$.

Ответ: 2.

в) Найдите расстояние между плоскостями $ADD_2$ и $A_1D_1C_2$

Плоскость $ADD_2$, как мы уже определили в пункте б), задается уравнением $x=0$.

Плоскость $A_1D_1C_2$ — это внутренняя вертикальная грань, образовавшаяся из-за "выреза" в многограннике. Координаты ее точек $A_1(1,1,1)$, $D_1(1,2,1)$, $C_2(1,2,2)$. Все они имеют координату $x=1$. Уравнение этой плоскости: $x=1$.

Плоскости $x=0$ и $x=1$ параллельны. Расстояние между ними равно $|1-0|=1$.

Ответ: 1.

г) Найдите расстояние между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$

Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания многогранника. Точки $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(2,2,0)$ лежат в плоскости $z=0$. Уравнение этой плоскости: $z=0$.

Плоскость $A_1B_1C_1$ — это плоскость горизонтальной "ступеньки". Точки $A_1(1,1,1)$, $B_1(2,1,1)$, $C_1(2,2,1)$ лежат в плоскости $z=1$. Уравнение этой плоскости: $z=1$.

Плоскости $z=0$ и $z=1$ параллельны. Расстояние между ними равно $|1-0|=1$.

Ответ: 1.

13.5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между:

а) прямой $BB_1$ и плоскостью $ACC_1$;

б) прямой $AB$ и плоскостью $CDA_1$.

а) В единичном кубе ребро равно 1. Прямая $BB_1$ параллельна ребру $AA_1$. Ребро $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1$ (которая является диагональным сечением $ACC_1A_1$). Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ACC_1$. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости. Найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.
В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$, делясь пополам. Таким образом, отрезок $BO$ перпендикулярен диагонали $AC$ ($BO \perp AC$).
Ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $BO$ ($AA_1 \perp BO$).
Поскольку отрезок $BO$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1$, он перпендикулярен всей плоскости $ACC_1$. Значит, длина отрезка $BO$ и есть искомое расстояние.
Найдем длину $BO$. Диагональ основания $BD$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Точка $O$ является серединой диагонали $BD$, поэтому $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Ребро $AB$ параллельно ребру $CD$. Прямая $CD$ лежит в плоскости $CDA_1$. Следовательно, прямая $AB$ параллельна плоскости $CDA_1$. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости. Найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $CDA_1$.
Пусть $M$ — середина диагонали $A_1D$ грани $ADD_1A_1$. Докажем, что отрезок $AM$ является перпендикуляром из точки $A$ к плоскости $CDA_1$. Для этого нужно показать, что $AM$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в этой плоскости, например, $CD$ и $A_1D$.
1. Ребро $CD$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, так как $CD \perp AD$ и $CD \perp DD_1$. Отрезок $AM$ полностью лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$. Следовательно, $CD \perp AM$.
2. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Это квадрат. Рассмотрим треугольники $\triangle AA_1M$ и $\triangle ADM$. У них сторона $AM$ общая, $A_1A = AD = 1$ (как ребра куба), $A_1M = DM$ (так как $M$ — середина $A_1D$). Следовательно, треугольники $\triangle AA_1M$ и $\triangle ADM$ равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle A_1MA = \angle DMA$. Эти углы — смежные, их сумма равна $180^\circ$. Значит, $\angle DMA = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Таким образом, $AM \perp A_1D$.
Поскольку $AM$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($CD$ и $A_1D$) в плоскости $CDA_1$, то $AM$ перпендикулярен этой плоскости, и его длина является искомым расстоянием.
Найдем длину $AM$. В грани $ADD_1A_1$ диагональ $A_1D = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Отрезок $DM = \frac{1}{2}A_1D = \frac{\sqrt{2}}{2}$. В треугольнике $ADM$ угол $\angle D = 45^\circ$. Можно найти $AM$ по теореме косинусов, либо из прямоугольного треугольника $\triangle ADM$, который мы доказали не является прямоугольным, мы доказали что $\angle DMA = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADM$ (с прямым углом $M$). По теореме Пифагора: $AD^2 = AM^2 + DM^2$.
$1^2 = AM^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$
$1 = AM^2 + \frac{2}{4}$
$AM^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$AM = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

13.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние между плоскостями:

a) $ABB_1$ и $DEE_1$

б) $ABB_1$ и $CFF_1$;

в) $ACC_1$ и $FDD_1$.

а) Плоскости $ABB_1$ (полное название $ABB_1A_1$) и $DEE_1$ (полное название $DEE_1D_1$) являются боковыми гранями правильной шестиугольной призмы. Так как призма прямая, эти плоскости перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$. Расстояние между такими плоскостями равно расстоянию между прямыми, по которым они пересекают плоскость основания, то есть между прямыми $AB$ и $DE$.
В основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны, следовательно, $AB \parallel DE$. Расстояние между этими прямыми постоянно.
Чтобы найти это расстояние, рассмотрим центр шестиугольника $O$. Расстояние между прямыми $AB$ и $DE$ равно длине отрезка, соединяющего их середины, который проходит через центр $O$. Пусть $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $DE$. Искомое расстояние — это длина отрезка $MN$.
Отрезок $OM$ является апофемой правильного шестиугольника, то есть высотой равностороннего треугольника $OAB$ со стороной $a=1$. Длина апофемы вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. При $a=1$, $OM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Аналогично, $ON$ — это апофема для стороны $DE$, и ее длина также равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Точки $M, O, N$ лежат на одной прямой, поэтому расстояние $MN = OM + ON = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Следовательно, расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $DEE_1$ равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

б) Плоскость $ABB_1$ — это боковая грань. Плоскость $CFF_1$ (полное название $CFF_1C_1$) — это диагональное сечение призмы. Обе плоскости перпендикулярны основанию $ABCDEF$. Чтобы найти расстояние между ними, нужно сначала убедиться, что они параллельны. Это так, если их следы на плоскости основания — прямые $AB$ и $CF$ — параллельны.
В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна большой диагонали $CF$. Это можно показать, например, с помощью векторов. Пусть центр шестиугольника $O$ — начало координат. Тогда $\vec{AB}$ и $\vec{FC}$ коллинеарны.
Расстояние между параллельными плоскостями $ABB_1$ и $CFF_1$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $CF$ в плоскости основания.
Большая диагональ $CF$ проходит через центр шестиугольника $O$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен прямой $AB$. Так как $AB \parallel CF$, отрезок $OM$ также перпендикулярен прямой $CF$. Длина этого отрезка и есть искомое расстояние, так как точка $O$ лежит на прямой $CF$, а точка $M$ — на прямой $AB$.
Длина $OM$ — это длина апофемы правильного шестиугольника со стороной $a=1$, которая равна $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Плоскости $ACC_1$ (полное название $ACC_1A_1$) и $FDD_1$ (полное название $FDD_1F_1$) являются диагональными сечениями призмы и перпендикулярны основанию. Они будут параллельны, если их следы на плоскости основания — прямые $AC$ и $FD$ — параллельны.
Рассмотрим четырехугольник $ACDF$ в основании. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ диагонали $AC$ и $FD$ равны и параллельны (так как вектор $\vec{AC}$ равен вектору $\vec{FD}$). Следовательно, плоскости $ACC_1$ и $FDD_1$ параллельны.
Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между параллельными прямыми $AC$ и $FD$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. По теореме косинусов, $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1+1+1 = 3$. Значит, $AC = \sqrt{3}$.
Рассмотрим четырехугольник $ACDF$. Мы уже установили, что $AC \parallel FD$. Также можно показать, что сторона $AF$ перпендикулярна диагонали $AC$. Векторное произведение скалярно: $\vec{AF} \cdot \vec{AC} = 0$. Таким образом, $ACDF$ является прямоугольником.
Расстояние между параллельными сторонами $AC$ и $FD$ прямоугольника $ACDF$ равно длине двух других его сторон, $AF$ или $CD$.
$AF$ и $CD$ — это стороны основания шестиугольника, длина которых по условию равна 1.
Следовательно, расстояние между прямыми $AC$ и $FD$, а значит и между плоскостями, равно 1.
Ответ: 1.