Страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется расстоянием между параллельными прямой и плоскостью?

2. Как найти расстояние между параллельными прямой и плоскостью?

3. Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?

1. Что называется расстоянием между параллельными прямой и плоскостью?
По определению, если прямая параллельна плоскости, то все точки этой прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости. Расстоянием между параллельными прямой и плоскостью называется длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на данную плоскость. Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то для любой точки $M$, принадлежащей прямой $a$ ($M \in a$), расстояние до плоскости $\alpha$ будет одинаковым и равным длине перпендикуляра $MH$, где $H$ — основание этого перпендикуляра на плоскости $\alpha$ ($H \in \alpha$, $MH \perp \alpha$).
Ответ: Расстоянием между параллельными прямой и плоскостью называется длина перпендикуляра, проведенного из любой точки прямой к этой плоскости.

2. Как найти расстояние между параллельными прямой и плоскостью?
Чтобы найти расстояние между параллельной прямой $a$ и плоскостью $\alpha$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Выбрать на прямой $a$ любую произвольную точку $M$.
2. Найти расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$. Для этого нужно опустить из точки $M$ перпендикуляр $MH$ на плоскость $\alpha$.
3. Длина этого перпендикуляра $MH$ и будет искомым расстоянием.
Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от произвольной точки прямой до плоскости.
Ответ: Чтобы найти расстояние между параллельными прямой и плоскостью, нужно выбрать на прямой произвольную точку и найти расстояние от этой точки до плоскости, то есть найти длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

3. Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?
Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую плоскость. Пусть плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$). Тогда для любой точки $A$ из плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$) расстояние до плоскости $\beta$ будет равно длине перпендикуляра $AB$, где $B$ — основание этого перпендикуляра на плоскости $\beta$ ($B \in \beta$, $AB \perp \beta$). Это расстояние является наименьшим среди всех расстояний между точками этих плоскостей.
Ответ: Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одной плоскости к другой плоскости.

13.1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 13.7) найдите расстояние между:

а) прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$;

б) прямой $AB_1$ и плоскостью $CDD_1$.

а) Найдём расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$.
В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямая $AA_1$ является боковым ребром, а плоскость $BCC_1$ совпадает с плоскостью боковой грани $BCC_1B_1$.
По свойству куба, боковые ребра параллельны, следовательно, $AA_1 \parallel BB_1$. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $BCC_1$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $BCC_1$.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости. Выберем точку $A$ на прямой $AA_1$. Искомое расстояние будет равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $BCC_1$.
В основании куба лежит квадрат $ABCD$, поэтому $AB \perp BC$. Ребро $AB$ также перпендикулярно боковому ребру $BB_1$, так как $BB_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$. Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости $BCC_1$, она перпендикулярна и самой плоскости $BCC_1$.
Следовательно, длина отрезка $AB$ является расстоянием от точки $A$ до плоскости $BCC_1$. Так как куб единичный, длина его ребра $AB$ равна 1.
Ответ: 1.

б) Найдём расстояние между прямой $AB_1$ и плоскостью $CDD_1$.
Прямая $AB_1$ является диагональю передней грани куба $ABB_1A_1$. Плоскость $CDD_1$ совпадает с плоскостью задней грани $CDD_1C_1$.
В кубе противоположные грани параллельны, поэтому плоскость передней грани $(ABB_1)$ параллельна плоскости задней грани $(CDD_1)$.
Прямая $AB_1$ полностью лежит в плоскости $(ABB_1)$. Если прямая лежит в одной из двух параллельных плоскостей, то она параллельна второй плоскости. Отсюда следует, что $AB_1 \parallel (CDD_1)$.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Выберем точку $A$ на прямой $AB_1$. Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до плоскости $CDD_1$.
Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $CD$ (как стороны квадрата $ABCD$). Ребро $AD$ также перпендикулярно боковому ребру $DD_1$, так как $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CD$ и $DD_1$) в плоскости $CDD_1$, она перпендикулярна и самой плоскости $CDD_1$.
Следовательно, длина отрезка $AD$ является расстоянием от точки $A$ до плоскости $CDD_1$. Так как куб единичный, длина его ребра $AD$ равна 1.
Ответ: 1.