Страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая прямая называется перпендикулярной плоскости?

2. Какой отрезок называется перпендикулярным плоскости?

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, то для того, чтобы прямая $a$ была перпендикулярна плоскости $\alpha$ (обозначается $a \perp \alpha$), необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна любой прямой $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $M$. Важным следствием является то, что если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна абсолютно всем прямым в этой плоскости, а не только тем, что проходят через точку их пересечения. Ответ: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Отрезок называется перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Например, если отрезок $AB$ является частью прямой $a$, и известно, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$), то отрезок $AB$ также считается перпендикулярным плоскости $\alpha$. Часто один из концов такого отрезка лежит в плоскости и является основанием перпендикуляра. Ответ: Отрезок называется перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости формулируется в виде теоремы: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Это основной метод доказательства перпендикулярности прямой и плоскости. Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Если в плоскости $\alpha$ существуют две прямые $b$ и $c$, которые пересекаются в точке $M$, и при этом прямая $a$ перпендикулярна каждой из них ($a \perp b$ и $a \perp c$), то из этого следует, что прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Ответ: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

11.1. Прямая параллельна плоскости. Может ли она быть перпендикулярной какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?

11.1. Да, может.

Рассмотрим доказательство этого факта. Пусть дана прямая $a$ и плоскость $\alpha$, причём $a \parallel \alpha$.

По определению, если прямая параллельна плоскости, то она не имеет с ней общих точек. Из признака параллельности прямой и плоскости следует, что если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Обратное утверждение также верно: если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то в плоскости $\alpha$ найдётся прямая $a'$, параллельная прямой $a$.

Итак, возьмём в плоскости $\alpha$ прямую $a'$, такую что $a' \parallel a$.

Теперь в плоскости $\alpha$ построим прямую $b$, перпендикулярную прямой $a'$. Такое построение всегда возможно в евклидовой геометрии на плоскости. Таким образом, у нас есть прямая $b$, для которой выполняются условия: $b \subset \alpha$ и $b \perp a'$.

Осталось доказать, что прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$). Угол между двумя скрещивающимися прямыми (в нашем случае $a$ и $b$) определяется как угол между их направляющими векторами, или, что эквивалентно, как угол между одной из прямых и любой прямой, параллельной второй и пересекающей первую. Поскольку $a \parallel a'$, угол между прямыми $a$ и $b$ равен углу между прямыми $a'$ и $b$.

Так как по построению $a' \perp b$, угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, угол между $a$ и $b$ также равен $90^\circ$, что и означает, что прямые перпендикулярны.

Таким образом, для прямой $a$, параллельной плоскости $\alpha$, мы смогли найти прямую $b$, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную прямой $a$.

Наглядный пример: представим пол комнаты как плоскость $\alpha$. Возьмём плинтус вдоль одной из стен — это будет прямая $a'$. Прямая, параллельная этому плинтусу, но на потолке (например, край потолочной плитки), будет нашей прямой $a$ ($a \parallel \alpha$). Плинтус вдоль смежной стены будет прямой $b$. Так как стены перпендикулярны, то $b \perp a'$. И очевидно, что прямая $a$ на потолке также будет перпендикулярна прямой $b$ на полу.

Ответ: Да, может.

11.2. Как расположена относительно плоскости треугольника прямая, перпендикулярная двум его сторонам?

11.2. Чтобы определить расположение прямой относительно плоскости треугольника, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть дан треугольник $ABC$, который лежит в плоскости $\alpha$. Его стороны, например $AB$ и $AC$, являются отрезками прямых, которые также лежат в плоскости $\alpha$. Эти прямые пересекаются в точке $A$.

По условию задачи, существует прямая $l$, которая перпендикулярна двум сторонам треугольника, то есть $l \perp AB$ и $l \perp AC$.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости гласит: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В нашем случае прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым (на которых лежат стороны $AB$ и $AC$), и эти прямые лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, в которой находится треугольник.

Ответ: Прямая, перпендикулярная двум сторонам треугольника, перпендикулярна плоскости этого треугольника.

11.3. Верно ли, что прямая, пересекающая круг в центре, перпендикулярна плоскости круга в случае, если прямая перпендикулярна:
а) диаметру круга;
б) двум его диаметрам?

а) диаметру круга;
Нет, это утверждение неверно.
Обозначим плоскость круга как $\alpha$, а прямую, проходящую через центр круга $O$, как $a$. Пусть $d_1$ — это диаметр, которому прямая $a$ перпендикулярна.
Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения. Перпендикулярности к одной прямой (в данном случае, к одному диаметру) недостаточно.
Приведем контрпример. Возьмем в плоскости круга $\alpha$ два перпендикулярных друг другу диаметра, $d_1$ и $d_2$. Пусть прямая $a$ совпадает с диаметром $d_2$. В этом случае прямая $a$ проходит через центр круга и перпендикулярна диаметру $d_1$ (так как $d_1 \perp d_2$). Однако прямая $a$ сама лежит в плоскости $\alpha$ и, очевидно, не перпендикулярна ей. Таким образом, условие выполнено, но прямая не перпендикулярна плоскости круга.
Ответ: нет, не верно.

б) двум его диаметрам?
Да, это утверждение верно.
Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Пусть прямая $a$ проходит через центр круга $O$ и перпендикулярна двум его различным диаметрам, $d_1$ и $d_2$.
Диаметры $d_1$ и $d_2$ — это две прямые, которые:
1. Лежат в плоскости круга $\alpha$.
2. Пересекаются в центре круга $O$.
По условию, прямая $a$ перпендикулярна каждой из этих двух пересекающихся прямых ($a \perp d_1$ и $a \perp d_2$). Следовательно, все условия признака перпендикулярности прямой и плоскости выполнены. Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то есть плоскости круга.
Ответ: да, верно.

11.4. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ и не перпендикулярна этой плоскости. Существуют ли в плоскости $\alpha$ прямые, перпендикулярные $a$?

Да, такие прямые существуют. Докажем это утверждение с помощью теоремы о трех перпендикулярах.

Пусть прямая a пересекает плоскость $ \alpha $ в точке M. По условию, прямая a не перпендикулярна плоскости $ \alpha $, поэтому она является наклонной к этой плоскости.

Построим ортогональную проекцию прямой a на плоскость $ \alpha $. Обозначим эту проекцию как a'. Так как a — наклонная, ее проекция a' является прямой, которая лежит в плоскости $ \alpha $ и пересекает прямую a в точке M.

В плоскости $ \alpha $ проведем прямую b, перпендикулярную проекции a'. Согласно аксиомам планиметрии, такую прямую можно построить, например, через точку M. Таким образом, мы имеем прямую b, лежащую в плоскости $ \alpha $, для которой выполняется условие b $ \perp $ a'.

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. Она утверждает, что прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. В нашем случае прямая b проведена в плоскости $ \alpha $ через основание M наклонной a и перпендикулярна ее проекции a'.

Следовательно, по этой теореме, прямая b перпендикулярна и самой наклонной a. То есть, b $ \perp $ a.

Мы построили прямую b, которая лежит в плоскости $ \alpha $ и перпендикулярна прямой a. Значит, такая прямая существует.

Ответ: Да, существуют.