Номер 11.1, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.1. Прямая параллельна плоскости. Может ли она быть перпендикулярной какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?

11.1. Да, может.

Рассмотрим доказательство этого факта. Пусть дана прямая $a$ и плоскость $\alpha$, причём $a \parallel \alpha$.

По определению, если прямая параллельна плоскости, то она не имеет с ней общих точек. Из признака параллельности прямой и плоскости следует, что если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Обратное утверждение также верно: если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то в плоскости $\alpha$ найдётся прямая $a'$, параллельная прямой $a$.

Итак, возьмём в плоскости $\alpha$ прямую $a'$, такую что $a' \parallel a$.

Теперь в плоскости $\alpha$ построим прямую $b$, перпендикулярную прямой $a'$. Такое построение всегда возможно в евклидовой геометрии на плоскости. Таким образом, у нас есть прямая $b$, для которой выполняются условия: $b \subset \alpha$ и $b \perp a'$.

Осталось доказать, что прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$). Угол между двумя скрещивающимися прямыми (в нашем случае $a$ и $b$) определяется как угол между их направляющими векторами, или, что эквивалентно, как угол между одной из прямых и любой прямой, параллельной второй и пересекающей первую. Поскольку $a \parallel a'$, угол между прямыми $a$ и $b$ равен углу между прямыми $a'$ и $b$.

Так как по построению $a' \perp b$, угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, угол между $a$ и $b$ также равен $90^\circ$, что и означает, что прямые перпендикулярны.

Таким образом, для прямой $a$, параллельной плоскости $\alpha$, мы смогли найти прямую $b$, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную прямой $a$.

Наглядный пример: представим пол комнаты как плоскость $\alpha$. Возьмём плинтус вдоль одной из стен — это будет прямая $a'$. Прямая, параллельная этому плинтусу, но на потолке (например, край потолочной плитки), будет нашей прямой $a$ ($a \parallel \alpha$). Плинтус вдоль смежной стены будет прямой $b$. Так как стены перпендикулярны, то $b \perp a'$. И очевидно, что прямая $a$ на потолке также будет перпендикулярна прямой $b$ на полу.

Ответ: Да, может.