Номер 10.10, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра равны 1 (рис. 10.9). Найдите расстояние от точки А до прямой $B_1F_1$.

По условию задачи, в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна 1, и боковое ребро (высота призмы) также равно 1.

Требуется найти расстояние от точки $A$ до прямой $B_1F_1$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $B_1F_1$. Для нахождения этого расстояния рассмотрим треугольник $AB_1F_1$. Искомое расстояние будет равно высоте этого треугольника, проведенной из вершины $A$ к стороне $B_1F_1$.

Найдем длины сторон треугольника $AB_1F_1$.

1. Сторона $B_1F_1$ является меньшей диагональю правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной 1. Длина меньшей диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$. Таким образом, $B_1F_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Сторона $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Так как призма правильная и все ребра равны 1, грань $ABB_1A_1$ является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABB_1$: $AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Следовательно, $AB_1 = \sqrt{2}$.

3. Аналогично, сторона $AF_1$ является диагональю боковой грани $AFF_1A_1$, которая также является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AFF_1$: $AF_1^2 = AF^2 + FF_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Следовательно, $AF_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $AB_1F_1$ — равнобедренный с основанием $B_1F_1$ и боковыми сторонами $AB_1 = AF_1 = \sqrt{2}$.

Пусть $AH$ — высота, проведенная из вершины $A$ к основанию $B_1F_1$. Длина $AH$ и есть искомое расстояние. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, точка $H$ является серединой отрезка $B_1F_1$.

Найдем длину отрезка $B_1H$: $B_1H = \frac{1}{2}B_1F_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AB_1H$ (угол $AHB_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AB_1^2 = AH^2 + B_1H^2$.

Выразим $AH^2$:

$AH^2 = AB_1^2 - B_1H^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$.

Отсюда находим длину высоты $AH$:

$AH = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{5}}{2} $.