Номер 10.3, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.3. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.7). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой:

а) $BB_1$;

б) $BC$;

в) $BA_1$.

10.4. В правильной шестиугольной ...

В задаче дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) – квадратами со стороной 1. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

а) $BB_1$

Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$. Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основанию. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$, и ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру $AB$. Грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником. По условию все ребра равны 1, значит $AB = AA_1 = 1$, и грань $ABB_1A_1$ – это квадрат. В квадрате смежные стороны перпендикулярны, поэтому $AB \perp BB_1$. Таким образом, отрезок $AB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на прямую $BB_1$. Длина этого отрезка равна длине ребра, то есть 1.

Ответ: $1$.

б) $BC$

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ находится в плоскости основания $ABC$. Основание $ABC$ – это равносторонний треугольник со стороной 1. Расстояние от вершины $A$ до стороны $BC$ равно длине высоты, проведенной из этой вершины. Обозначим эту высоту как $AH$, где $H$ – точка на стороне $BC$. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому точка $H$ делит сторону $BC$ пополам: $HC = BC/2 = 1/2$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (с прямым углом $H$). Гипотенуза $AC = 1$, катет $HC = 1/2$. По теореме Пифагора найдем катет $AH$:$AH^2 = AC^2 - HC^2$$AH^2 = 1^2 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4$$AH = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$Это и есть искомое расстояние.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $BA_1$

Рассмотрим треугольник $ABA_1$. Его стороны: $AB = 1$ (ребро основания), $AA_1 = 1$ (боковое ребро). Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Таким образом, $AA_1 \perp AB$, и треугольник $ABA_1$ является прямоугольным с прямым углом $A$.Искомое расстояние от точки $A$ до прямой $BA_1$ – это длина высоты, опущенной из вершины прямого угла $A$ на гипотенузу $BA_1$. Обозначим эту высоту как $AK$.Найдем площадь треугольника $ABA_1$ двумя способами.1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot AK$.Найдем длину гипотенузы $BA_1$ по теореме Пифагора:$BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$$BA_1 = \sqrt{2}$Теперь приравняем выражения для площади:$\frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot AK = \frac{1}{2}$$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot AK = \frac{1}{2}$$\sqrt{2} \cdot AK = 1$$AK = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$Это и есть искомое расстояние.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.