Номер 10.1, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки А до прямой:

а) $BC$;

б) $BD$;

в) $C_1D_1$.

а) Расстояние от точки A до прямой BC.

Рассмотрим грань куба ABCD. Эта грань является квадратом со стороной 1. Расстояние от точки A до прямой BC в пространстве равно расстоянию от вершины A до стороны BC в плоскости этого квадрата. В квадрате ABCD сторона AB перпендикулярна стороне BC. Следовательно, длина отрезка AB и есть искомое расстояние. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.

Таким образом, расстояние от точки A до прямой BC равно длине ребра AB.

$\rho(A, BC) = AB = 1$.

Ответ: 1

б) Расстояние от точки A до прямой BD.

Точки A, B и D лежат в одной плоскости (в плоскости основания ABCD). Прямая BD является диагональю квадрата ABCD. Расстояние от точки A до прямой BD — это длина перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BD. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда отрезок AO перпендикулярен прямой BD, и его длина является искомым расстоянием. Длина диагонали единичного квадрата равна $BD = AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Длина отрезка AO составляет половину длины диагонали AC.

$\rho(A, BD) = AO = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Расстояние от точки A до прямой $C_1D_1$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Покажем, что таким перпендикуляром является отрезок $AD_1$.

Прямая $C_1D_1$ перпендикулярна плоскости грани $ADD_1A_1$. Это следует из того, что прямая $C_1D_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости: $C_1D_1 \perp D_1D$ (как рёбра квадрата $CDD_1C_1$) и $C_1D_1 \perp A_1D_1$ (как рёбра квадрата $A_1B_1C_1D_1$).

Поскольку прямая $C_1D_1$ перпендикулярна плоскости $ADD_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения $D_1$. Отрезок $AD_1$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$. Следовательно, прямая $C_1D_1$ перпендикулярна отрезку $AD_1$.

Таким образом, длина отрезка $AD_1$ и есть искомое расстояние от точки A до прямой $C_1D_1$. $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Так как эта грань — единичный квадрат, ее диагональ можно найти по теореме Пифагора:

$\rho(A, C_1D_1) = AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$