Страница 62 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется расстоянием от точки до прямой в пространстве?

2. Какие геометрические факты используют для нахождения расстояния от точки до прямой?

1. Что называется расстоянием от точки до прямой в пространстве?

Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую.

Пусть дана точка $A$ и прямая $a$, не проходящая через точку $A$. Через точку $A$ и прямую $a$ проходит единственная плоскость. В этой плоскости из точки $A$ опускается перпендикуляр $AH$ на прямую $a$, где $H$ — основание перпендикуляра, то есть точка пересечения перпендикуляра с прямой $a$. Длина отрезка $AH$ и является искомым расстоянием.

Это расстояние является наименьшим из всех возможных расстояний от точки $A$ до любой точки $M$, лежащей на прямой $a$. Это свойство следует из того, что в любом прямоугольном треугольнике $AHM$ (с прямым углом при вершине $H$) отрезок $AH$ является катетом, а отрезок $AM$ — гипотенузой. Как известно, катет всегда короче гипотенузы, то есть $AH < AM$ для любой точки $M$ на прямой $a$, не совпадающей с $H$.

Ответ: Расстояние от точки до прямой в пространстве — это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

2. Какие геометрические факты используют для нахождения расстояния от точки до прямой?

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве используют различные геометрические факты и методы, которые чаще всего позволяют свести пространственную задачу к более простой планиметрической задаче. Основные из них:

• Построение и расчет элементов прямоугольного треугольника. Часто искомое расстояние (перпендикуляр) оказывается катетом в некотором прямоугольном треугольнике. Если известны другие элементы этого треугольника (например, гипотенуза и угол, или гипотенуза и другой катет), то расстояние можно вычислить с помощью теоремы Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$) или тригонометрических соотношений ($\sin$, $\cos$, $\tan$).

• Метод площадей. Расстояние от точки $A$ до прямой $b$ можно рассматривать как высоту треугольника. Для этого на прямой $b$ выбирают две точки $B$ и $C$. Тогда искомое расстояние будет высотой $h_a$ треугольника $ABC$, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$. Площадь $S$ этого треугольника можно найти, например, по формуле Герона (если известны все стороны) или по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$ (если известны две стороны и угол между ними). Зная площадь $S$ и длину основания $BC$, можно вычислить высоту (расстояние) по формуле $h_a = \frac{2S}{|BC|}$.

• Теорема о трех перпендикулярах. Это одна из ключевых теорем стереометрии для задач на нахождение расстояний. Теорема гласит: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Эта теорема помогает доказать, что построенный отрезок действительно является перпендикуляром к прямой, и позволяет свести задачу к вычислению длины этого отрезка в более простой конфигурации, как правило, в прямоугольном треугольнике.

• Координатно-векторный метод. Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то расстояние $d$ от точки $A(x_A, y_A, z_A)$ до прямой, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеющей направляющий вектор $\vec{s}=\{l; m; n\}$, можно найти с помощью векторной алгебры по формуле: $d = \frac{|\vec{M_0A} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$. Этот метод универсален и особенно эффективен, когда геометрические построения затруднительны.

Ответ: Для нахождения расстояния от точки до прямой используют теорему Пифагора и тригонометрические функции в прямоугольных треугольниках, метод площадей, теорему о трех перпендикулярах, а также координатно-векторный метод.

10.1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки А до прямой:

а) $BC$;

б) $BD$;

в) $C_1D_1$.

а) Расстояние от точки A до прямой BC.

Рассмотрим грань куба ABCD. Эта грань является квадратом со стороной 1. Расстояние от точки A до прямой BC в пространстве равно расстоянию от вершины A до стороны BC в плоскости этого квадрата. В квадрате ABCD сторона AB перпендикулярна стороне BC. Следовательно, длина отрезка AB и есть искомое расстояние. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.

Таким образом, расстояние от точки A до прямой BC равно длине ребра AB.

$\rho(A, BC) = AB = 1$.

Ответ: 1

б) Расстояние от точки A до прямой BD.

Точки A, B и D лежат в одной плоскости (в плоскости основания ABCD). Прямая BD является диагональю квадрата ABCD. Расстояние от точки A до прямой BD — это длина перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BD. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда отрезок AO перпендикулярен прямой BD, и его длина является искомым расстоянием. Длина диагонали единичного квадрата равна $BD = AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Длина отрезка AO составляет половину длины диагонали AC.

$\rho(A, BD) = AO = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Расстояние от точки A до прямой $C_1D_1$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Покажем, что таким перпендикуляром является отрезок $AD_1$.

Прямая $C_1D_1$ перпендикулярна плоскости грани $ADD_1A_1$. Это следует из того, что прямая $C_1D_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости: $C_1D_1 \perp D_1D$ (как рёбра квадрата $CDD_1C_1$) и $C_1D_1 \perp A_1D_1$ (как рёбра квадрата $A_1B_1C_1D_1$).

Поскольку прямая $C_1D_1$ перпендикулярна плоскости $ADD_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения $D_1$. Отрезок $AD_1$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$. Следовательно, прямая $C_1D_1$ перпендикулярна отрезку $AD_1$.

Таким образом, длина отрезка $AD_1$ и есть искомое расстояние от точки A до прямой $C_1D_1$. $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Так как эта грань — единичный квадрат, ее диагональ можно найти по теореме Пифагора:

$\rho(A, C_1D_1) = AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

10.2. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 10.6). Найдите расстояние от вершины $S$ до прямой:

а) $AB$;

б) $AC$.

По условию задачи, дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной 1, а боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ также равны 1.

а) Расстояние от вершины $S$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на прямую $AB$. Этот перпендикуляр является высотой треугольника $SAB$.

Рассмотрим треугольник $SAB$. Его стороны: $SA = 1$ (боковое ребро), $SB = 1$ (боковое ребро), $AB = 1$ (ребро основания). Так как все стороны равны, треугольник $SAB$ является равносторонним.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a = 1$, поэтому расстояние от $S$ до $AB$ равно:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на прямую $AC$. Этот перпендикуляр является высотой треугольника $SAC$.

Рассмотрим треугольник $SAC$. Его стороны: $SA = 1$ и $SC = 1$ (боковые ребра). Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании. Найдем ее длину по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Итак, треугольник $SAC$ — равнобедренный с основанием $AC = \sqrt{2}$ и боковыми сторонами $SA = SC = 1$.

Пусть $SO$ — высота, проведенная к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой. Значит, точка $O$ — середина диагонали $AC$.

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (угол $SOA = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем катет $SO$, который и является искомым расстоянием:

$SA^2 = SO^2 + AO^2$

$1^2 = SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$1 = SO^2 + \frac{2}{4}$

$1 = SO^2 + \frac{1}{2}$

$SO^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

10.3. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.7). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой:

а) $BB_1$;

б) $BC$;

в) $BA_1$.

10.4. В правильной шестиугольной ...

В задаче дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) – квадратами со стороной 1. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

а) $BB_1$

Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$. Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основанию. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$, и ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру $AB$. Грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником. По условию все ребра равны 1, значит $AB = AA_1 = 1$, и грань $ABB_1A_1$ – это квадрат. В квадрате смежные стороны перпендикулярны, поэтому $AB \perp BB_1$. Таким образом, отрезок $AB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на прямую $BB_1$. Длина этого отрезка равна длине ребра, то есть 1.

Ответ: $1$.

б) $BC$

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ находится в плоскости основания $ABC$. Основание $ABC$ – это равносторонний треугольник со стороной 1. Расстояние от вершины $A$ до стороны $BC$ равно длине высоты, проведенной из этой вершины. Обозначим эту высоту как $AH$, где $H$ – точка на стороне $BC$. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому точка $H$ делит сторону $BC$ пополам: $HC = BC/2 = 1/2$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (с прямым углом $H$). Гипотенуза $AC = 1$, катет $HC = 1/2$. По теореме Пифагора найдем катет $AH$:$AH^2 = AC^2 - HC^2$$AH^2 = 1^2 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4$$AH = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$Это и есть искомое расстояние.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $BA_1$

Рассмотрим треугольник $ABA_1$. Его стороны: $AB = 1$ (ребро основания), $AA_1 = 1$ (боковое ребро). Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Таким образом, $AA_1 \perp AB$, и треугольник $ABA_1$ является прямоугольным с прямым углом $A$.Искомое расстояние от точки $A$ до прямой $BA_1$ – это длина высоты, опущенной из вершины прямого угла $A$ на гипотенузу $BA_1$. Обозначим эту высоту как $AK$.Найдем площадь треугольника $ABA_1$ двумя способами.1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot AK$.Найдем длину гипотенузы $BA_1$ по теореме Пифагора:$BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$$BA_1 = \sqrt{2}$Теперь приравняем выражения для площади:$\frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot AK = \frac{1}{2}$$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot AK = \frac{1}{2}$$\sqrt{2} \cdot AK = 1$$AK = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$Это и есть искомое расстояние.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

10.4. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны ос-

нования равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 10.8). Найдите расстояние от вершины $S$ до прямой $AD$.

Рис. 10.8

10.4. Искомое расстояние от вершины $S$ до прямой $AD$ является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на прямую $AD$. Этот перпендикуляр является высотой $SH$ треугольника $SAD$, где точка $H$ лежит на стороне $AD$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной, равной 1. Диагональ $AD$ соединяет две противоположные вершины шестиугольника и является его большой диагональю. Длина большой диагонали правильного шестиугольника в два раза больше длины его стороны.
$AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.

Рассмотрим треугольник $SAD$. По условию задачи, боковые ребра пирамиды равны 2, следовательно, $SA = 2$ и $SD = 2$. Мы также нашли, что сторона $AD = 2$.
Таким образом, все стороны треугольника $SAD$ равны: $SA = SD = AD = 2$. Это означает, что треугольник $SAD$ является равносторонним.

Высота $SH$ в равностороннем треугольнике $SAD$ также является его медианой. Следовательно, точка $H$ является серединой стороны $AD$.
Длина отрезка $AH$ равна:
$AH = \frac{AD}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SAH$, в котором $SA$ — гипотенуза, а $AH$ и $SH$ — катеты. По теореме Пифагора:
$SA^2 = AH^2 + SH^2$
Выразим из этой формулы искомую высоту $SH$:
$SH^2 = SA^2 - AH^2$
Подставим известные значения:
$SH^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
$SH = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$