Страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что расстояние от данной точки до данной плоскости меньше расстояния от этой точки до любой другой точки этой плоскости.

Пусть дана точка $A$, не лежащая в плоскости $\alpha$.

По определению, расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к плоскости $\alpha$, где $H$ — точка на плоскости $\alpha$ ($H \in \alpha$). Таким образом, длина отрезка $AH$ — это и есть расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$. По определению перпендикуляра к плоскости, $AH \perp \alpha$.

Теперь выберем на плоскости $\alpha$ любую другую точку $M$, которая не совпадает с точкой $H$ ($M \in \alpha$ и $M \neq H$). Расстояние от точки $A$ до точки $M$ равно длине отрезка $AM$. Этот отрезок $AM$ называется наклонной, проведённой из точки $A$ к плоскости $\alpha$.

Рассмотрим три точки: $A$, $H$ и $M$. Поскольку точка $A$ не лежит в плоскости $\alpha$, а точки $H$ и $M$ лежат в ней и не совпадают, эти три точки не лежат на одной прямой и образуют треугольник $\triangle AHM$.

Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание — точку $H$. Прямая $HM$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $H$. Следовательно, $AH \perp HM$.

Это означает, что угол $\angle AHM$ прямой, то есть $\angle AHM = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle AHM$ является прямоугольным треугольником, в котором $AH$ и $HM$ — катеты, а $AM$ — гипотенуза.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее каждого из катетов. Следовательно, $AM > AH$.

Поскольку точка $M$ была выбрана произвольно на плоскости $\alpha$ (при условии $M \neq H$), мы доказали, что расстояние от точки $A$ до любой точки $M$ на плоскости (не совпадающей с основанием перпендикуляра) всегда больше, чем расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

Ответ: Расстояние от точки до плоскости ($AH$) является перпендикуляром, а расстояние от этой же точки до любой другой точки на плоскости ($AM$) является наклонной. Перпендикуляр, наклонная и ее проекция на плоскость ($HM$) образуют прямоугольный треугольник, где перпендикуляр — катет, а наклонная — гипотенуза. Так как гипотенуза всегда длиннее катета, расстояние от точки до плоскости меньше расстояния от этой точки до любой другой точки этой плоскости, что и требовалось доказать.