Номер 11.5, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.5. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 11.8) данные прямая и плоскость перпендикулярны:

а) $AA_1$ и $ABC$;

б) $AB$ и $BCC_1$;

в) $AB_1$ и $BCD_1$.

Рис. 11.8

а) $AA_1$ и $ABC$

Для доказательства перпендикулярности прямой $AA_1$ и плоскости $ABC$ воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

1. Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то все его грани являются квадратами. В квадрате $ABB_1A_1$ смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $AA_1 \perp AB$.

2. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Эта грань также является квадратом. Следовательно, $AA_1 \perp AD$.

3. Прямые $AB$ и $AD$ лежат в плоскости $ABC$ и пересекаются в точке $A$.

4. Так как прямая $AA_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $AD$) в плоскости $ABC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $AB$ и $BCC_1$

Доказательство аналогично пункту а). Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Рассмотрим грань $ABCD$. Это квадрат, поэтому смежные стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны: $AB \perp BC$.

2. Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Это квадрат, поэтому смежные стороны $AB$ и $BB_1$ перпендикулярны: $AB \perp BB_1$.

3. Прямые $BC$ и $BB_1$ лежат в плоскости $BCC_1$ (также обозначаемой как $BCC_1B_1$) и пересекаются в точке $B$.

4. Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости $BCC_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) $AB_1$ и $BCD_1$

Для доказательства перпендикулярности прямой $AB_1$ и плоскости $BCD_1$ докажем, что прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, например, прямым $BC$ и $CD_1$.

1. Докажем, что $AB_1 \perp BC$.
В кубе грань $ABCD$ является квадратом, поэтому $AB \perp BC$. Грань $BCC_1B_1$ также является квадратом, поэтому $BC \perp BB_1$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $BB_1$ (которые образуют плоскость $ABB_1A_1$), то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $ABB_1A_1$. Так как прямая $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, $BC \perp AB_1$.

2. Докажем, что $AB_1 \perp CD_1$.
Рассмотрим грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$. Так как это куб, эти грани являются параллельными квадратами. Следовательно, отрезки $BA_1$ и $CD_1$ равны и параллельны ($BA_1 \parallel CD_1$), так как они являются соответствующими диагоналями этих граней. Рассмотрим диагонали грани-квадрата $ABB_1A_1$: $AB_1$ и $BA_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому $AB_1 \perp BA_1$. Так как $AB_1 \perp BA_1$ и $BA_1 \parallel CD_1$, то по свойству параллельных прямых (если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой третьей прямой), получаем, что $AB_1 \perp CD_1$.

3. Заключение.
Мы доказали, что прямая $AB_1$ перпендикулярна прямой $BC$ и прямой $CD_1$. Прямые $BC$ и $CD_1$ лежат в плоскости $BCD_1$ и пересекаются в точке $C$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $BCD_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.