Номер 11.9, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.9. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 11.8) докажите перпендикулярность прямых:

а) $AA_1$ и $AC$;

б) $AA_1$ и $BD$;

в) $AB$ и $BC_1$.

Рис. 11.8

а) $AA_1$ и $AC$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются квадратами, а смежные грани перпендикулярны. Рассмотрим ребро $AA_1$ и плоскость основания $ABCD$.

Так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат, то ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$, то есть $AA_1 \perp AB$.

Так как грань $ADD_1A_1$ — квадрат, то ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AD$, то есть $AA_1 \perp AD$.

Прямые $AB$ и $AD$ лежат в плоскости основания $ABCD$ и пересекаются в точке $A$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$.

Прямая $AC$ является диагональю основания $ABCD$ и, следовательно, лежит в плоскости $ABCD$.

По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $AA_1 \perp AC$.

Ответ: Доказано.

б) $AA_1$ и $BD$

Аналогично пункту а), докажем перпендикулярность прямых $AA_1$ и $BD$.

Как было установлено ранее, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.

Прямая $BD$ является диагональю основания $ABCD$ и, следовательно, целиком лежит в плоскости $ABCD$.

Поскольку прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, $AA_1 \perp BD$.

Ответ: Доказано.

в) $AB$ и $BC_1$

Рассмотрим ребро $AB$ и плоскость боковой грани $BCC_1B_1$.

Так как грань $ABCD$ — квадрат, то ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$, то есть $AB \perp BC$.

Так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат, то ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BB_1$, то есть $AB \perp BB_1$.

Прямые $BC$ и $BB_1$ лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$ и пересекаются в точке $B$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCC_1B_1$.

Прямая $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$ и, следовательно, лежит в плоскости этой грани.

Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCC_1B_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AB \perp BC_1$.

Ответ: Доказано.