Номер 13.3, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.3. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 13.9). Найдите расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью:

В условии дана правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1, а боковые ребра (например, $AA_1$) перпендикулярны основанию и имеют длину 1. Требуется найти расстояние от прямой $AA_1$ до различных плоскостей.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром и параллельна другим боковым ребрам ($BB_1, CC_1$ и т.д.). Каждая из указанных в задаче плоскостей содержит как минимум одно боковое ребро, следовательно, прямая $AA_1$ параллельна каждой из этих плоскостей. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Для удобства выберем точку $A$, принадлежащую прямой $AA_1$.

Кроме того, все указанные плоскости содержат боковые ребра, перпендикулярные плоскости основания $ABCDEF$. Это значит, что плоскости "вертикальны". Расстояние от точки $A$, лежащей в основании, до такой вертикальной плоскости равно расстоянию от точки $A$ до прямой, по которой эта плоскость пересекает основание $ABCDEF$.

Таким образом, задача сводится к нахождению на плоскости основания расстояний от вершины $A$ до прямых, содержащих отрезки $BC, CD, DE, BD, BE, CE, CF$.

Вспомогательные данные для правильного шестиугольника со стороной $a=1$:

• Длина короткой диагонали (например, $AC$): $d_s = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• Длина большой диагонали (например, $AD$): $d_l = 2a = 2$.

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BC$ в плоскости основания. Рассмотрим $\triangle ABC$. Он равнобедренный со сторонами $AB=BC=1$ и углом при вершине $\angle ABC = 120^\circ$. Расстояние от $A$ до прямой $BC$ — это высота $h_A$ треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$. Площадь $\triangle ABC$ равна $S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} BC \cdot h_A$. Отсюда $h_A = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/4)}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CD$. Рассмотрим $\triangle ACD$. Его стороны: $AC = \sqrt{3}$ (короткая диагональ), $CD=1$ (сторона шестиугольника) и $AD=2$ (большая диагональ). Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: $AC^2 + CD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. $AD^2 = 2^2 = 4$. Поскольку $AC^2 + CD^2 = AD^2$, $\triangle ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, отрезок $AC$ перпендикулярен прямой $CD$. Расстояние от точки $A$ до прямой $CD$ равно длине отрезка $AC$.

Ответ: $\sqrt{3}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $DE$. В силу симметрии правильного шестиугольника относительно диагонали $AD$, расстояние от $A$ до прямой $DE$ равно расстоянию от $A$ до прямой $CD$. Также можно рассмотреть $\triangle ADE$, стороны которого $AD=2$, $DE=1$, $AE=\sqrt{3}$. Так как $AE^2+DE^2 = (\sqrt{3})^2+1^2 = 4 = AD^2$, треугольник $ADE$ прямоугольный с прямым углом при вершине $E$. Значит, $AE \perp DE$, и расстояние от $A$ до прямой $DE$ равно длине $AE$.

Ответ: $\sqrt{3}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BD$. Рассмотрим $\triangle ABD$. Его стороны: $AB=1$, $AD=2$, $BD=\sqrt{3}$. Проверяем: $AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1+3=4$. $AD^2=2^2=4$. Следовательно, $\triangle ABD$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Значит, $AB \perp BD$, и расстояние от $A$ до прямой $BD$ равно длине $AB$.

Ответ: $1$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BE$. Рассмотрим $\triangle ABE$. Его стороны: $AB=1$, $AE=\sqrt{3}$, $BE=2$. Проверяем: $AB^2+AE^2 = 1^2+(\sqrt{3})^2 = 4$. $BE^2=2^2=4$. Следовательно, $\triangle ABE$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$. Искомое расстояние — это высота $h_A$, опущенная из вершины $A$ на гипотенузу $BE$. Площадь $\triangle ABE$ равна $S = \frac{1}{2} AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Также $S = \frac{1}{2} BE \cdot h_A$. Отсюда $h_A = \frac{2S}{BE} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/2)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BF$. Рассмотрим $\triangle ABF$. Он равнобедренный, $AB = AF = 1$, а угол между ними $\angle FAB = 120^\circ$. Углы при основании $BF$ равны $\angle ABF = \angle AFB = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$. Искомое расстояние — это высота $h$, опущенная из вершины $A$ на прямую $BF$. Из прямоугольного треугольника, образованного этой высотой, стороной $AF$ и частью прямой $BF$, находим: $h = AF \cdot \sin(\angle AFB) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CE$. Рассмотрим $\triangle ACE$. Стороны $AC$ и $AE$ — это короткие диагонали, $AC=AE=\sqrt{3}$. Сторона $CE$ соединяет вершины через одну, так же как $AC$ и $AE$, значит $CE=\sqrt{3}$. Таким образом, $\triangle ACE$ является равносторонним со стороной $\sqrt{3}$. Искомое расстояние — это высота этого треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $s$ равна $h = s\frac{\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $h = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CF$. Рассмотрим $\triangle ACF$. Его стороны: $AF=1$, $AC=\sqrt{3}$, $CF=2$. Проверяем: $AF^2 + AC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$. $CF^2 = 2^2 = 4$. Следовательно, $\triangle ACF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Искомое расстояние — это высота $h_A$, опущенная из вершины $A$ на гипотенузу $CF$. Площадь $\triangle ACF$ равна $S = \frac{1}{2} AF \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Также $S = \frac{1}{2} CF \cdot h_A$. Отсюда $h_A = \frac{2S}{CF} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/2)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$