Номер 14.2, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 14. Расстояние между двумя прямыми. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 14.2, страница 78.

Условия.

14.2. У правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 14.8) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC$;

б) $AB$ и $A_1C_1$.

₁B₁C₁

Рис. 14.8

Решение.

Решение 2.

а) AA₁ и BC
По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная, и все ее ребра равны 1. Это значит, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований и их длина равна 1.
Прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися. Расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра.
Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Проведем в равностороннем треугольнике $ABC$ высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Отрезок $AH$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому $AA_1 \perp AH$. По построению, $AH$ является высотой, поэтому $AH \perp BC$.
Так как отрезок $AH$ перпендикулярен обеим прямым ($AA_1$ и $BC$), он является их общим перпендикуляром. Значит, искомое расстояние равно длине отрезка $AH$.
Длину высоты $AH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$:
$d(AA_1, BC) = AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) AB и A₁C₁
Прямые $AB$ и $A_1C_1$ являются скрещивающимися, так как они лежат в параллельных плоскостях оснований ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) и не параллельны друг другу.
Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из прямых до плоскости, которая проходит через другую прямую и параллельна первой.
Найдем расстояние от прямой $AB$ до плоскости, содержащей $A_1C_1$ и параллельной $AB$.
В основании призмы $A_1B_1C_1$ ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$ в основании $ABC$.
Рассмотрим плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$. Эта плоскость содержит прямую $A_1C_1$. Также эта плоскость содержит прямую $A_1B_1$, которая параллельна $AB$. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой прямой, то вся плоскость параллельна этой другой прямой. Следовательно, плоскость $A_1B_1C_1$ параллельна прямой $AB$.
Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $A_1C_1$ равно расстоянию от прямой $AB$ до параллельной ей плоскости $A_1B_1C_1$.
Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $AB$ на плоскость $A_1B_1C_1$. Возьмем точку $A$. Так как призма прямая, то боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1$.
Следовательно, длина отрезка $AA_1$ и есть искомое расстояние. По условию, все ребра призмы равны 1.
$d(AB, A_1C_1) = AA_1 = 1$.
Ответ: 1