Номер 14.4, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.4. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 14.10). Найдите расстояние между прямыми:

а) $AB$ и $C_1D_1$;

б) $AB$ и $C_2D_2$;

в) $AA_2$ и $CC_1$;

г) $AA_2$ и $D_1C_2$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Из условия, что гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами, следует, что все ребра многогранника параллельны трем взаимно перпендикулярным осям.

Пусть точка A будет началом координат, то есть A(0,0,0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy — в направлении, перпендикулярном AB и AA₂, и ось Oz — вдоль ребра AA₂. Исходя из длин ребер, указанных на рисунке, определим координаты вершин, необходимых для решения задачи:

A = (0,0,0)

B = (2,0,0), так как AB = 2 и ребро AB лежит на оси Ox.

A₂ = (0,0,2), так как AA₂ = 2 и ребро AA₂ лежит на оси Oz.

Примем, что ребро BC параллельно оси Oy, тогда C = (2,2,0), так как BC = 2.

Ребро CC₁ параллельно оси Oz, следовательно C₁ = (2,2,1), так как CC₁ = 1.

Ребро C₁D₁ параллельно оси Ox (в отрицательном направлении), следовательно D₁ = (1,2,1), так как C₁D₁ = 1.

Ребро A₂D₂ параллельно оси Oy, следовательно D₂ = (0,2,2), так как A₂D₂ = 2.

Ребро D₂C₂ параллельно оси Ox, следовательно C₂ = (1,2,2), так как D₂C₂ = 1.

Теперь найдем расстояния между указанными прямыми.

а) AB и C₁D₁

Прямая AB проходит через точки A(0,0,0) и B(2,0,0). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{AB} = (2,0,0)$, или, для простоты, $\vec{v}_1 = (1,0,0)$. Эта прямая совпадает с осью Ox.

Прямая C₁D₁ проходит через точки C₁(2,2,1) и D₁(1,2,1). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{C_1D_1} = \vec{D_1} - \vec{C_1} = (1-2, 2-2, 1-1) = (-1,0,0)$. В качестве направляющего вектора можно взять коллинеарный ему вектор $\vec{v}_2 = (1,0,0)$.

Поскольку направляющие векторы прямых коллинеарны ($\vec{v}_1 = \vec{v}_2$), прямые AB и C₁D₁ параллельны. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой. Найдем расстояние от точки D₁(1,2,1) до прямой AB (оси Ox). Расстояние от точки M(x₀,y₀,z₀) до оси Ox вычисляется по формуле $d = \sqrt{y_0^2 + z_0^2}$.

$d = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

б) AB и C₂D₂

Прямая AB, как и в предыдущем пункте, совпадает с осью Ox, ее направляющий вектор $\vec{v}_1 = (1,0,0)$.

Прямая C₂D₂ проходит через точки C₂(1,2,2) и D₂(0,2,2). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{C_2D_2} = \vec{D_2} - \vec{C_2} = (0-1, 2-2, 2-2) = (-1,0,0)$. Направляющий вектор $\vec{v}_2 = (1,0,0)$.

Прямые AB и C₂D₂ параллельны. Найдем расстояние от точки D₂(0,2,2) до прямой AB (оси Ox).

$d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$

в) AA₂ и CC₁

Прямая AA₂ проходит через A(0,0,0) и A₂(0,0,2). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{AA_2} = (0,0,2)$, или $\vec{v}_1 = (0,0,1)$. Эта прямая совпадает с осью Oz.

Прямая CC₁ проходит через C(2,2,0) и C₁(2,2,1). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{CC_1} = \vec{C_1} - \vec{C} = (2-2, 2-2, 1-0) = (0,0,1)$.

Прямые параллельны. Найдем расстояние от точки C(2,2,0) до прямой AA₂ (оси Oz). Расстояние от точки M(x₀,y₀,z₀) до оси Oz вычисляется по формуле $d = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

$d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$

г) AA₂ и D₁C₂

Прямая AA₂ совпадает с осью Oz, ее направляющий вектор $\vec{v}_1 = (0,0,1)$.

Прямая D₁C₂ проходит через D₁(1,2,1) и C₂(1,2,2). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{D_1C_2} = \vec{C_2} - \vec{D_1} = (1-1, 2-2, 2-1) = (0,0,1)$.

Прямые параллельны. Найдем расстояние от точки D₁(1,2,1) до прямой AA₂ (оси Oz).

$d = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$