Задания, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Верно и обратное. А именно, если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной. Попробуйте доказать это самостоятельно.

Доказательство теоремы, обратной теореме о трех перпендикулярах

Сформулируем теорему: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ей, то она перпендикулярна и её проекции.

Пусть $α$ — это плоскость, $AB$ — наклонная к этой плоскости, где точка $A$ не принадлежит плоскости $α$ ($A \notin α$), а точка $B$ (основание наклонной) принадлежит плоскости $α$ ($B \in α$).
$AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $α$ ($H \in α$).
Тогда $HB$ — это ортогональная проекция наклонной $AB$ на плоскость $α$.
Пусть $c$ — прямая, лежащая в плоскости $α$ ($c \subset α$) и проходящая через точку $B$.

Дано:
$AB$ — наклонная к плоскости $α$.
$HB$ — проекция $AB$ на плоскость $α$.
$c \subset α$.
По условию теоремы, прямая $c$ перпендикулярна наклонной $AB$: $c \perp AB$.

Доказать:
Прямая $c$ перпендикулярна проекции $HB$: $c \perp HB$.

Доказательство:
1. Поскольку $AH$ является перпендикуляром к плоскости $α$, то по определению перпендикуляра к плоскости, $AH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $c$ лежит в плоскости $α$, следовательно, $AH \perp c$.
2. По условию теоремы нам дано, что $c \perp AB$.
3. Таким образом, прямая $c$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AH$ и $AB$. Эти две прямые (перпендикуляр $AH$ и наклонная $AB$) определяют единственную плоскость, назовем ее $(ABH)$.
4. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $(ABH)$, то есть $c \perp (ABH)$.
5. Проекция $HB$ по построению лежит в плоскости $(ABH)$, так как обе точки $H$ и $B$ принадлежат этой плоскости.
6. Из того, что прямая $c$ перпендикулярна плоскости $(ABH)$, следует, что она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, $c \perp HB$.

Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.