Номер 15.7, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.7. Точки $A$, $B$, $C$ расположены на одной прямой, $A'$, $B'$, $C'$ — их соответствующие ортогональные проекции, $AB = 5$, $BC = 10$, $A'C' = 12$. Найдите $A'B'$ и $B'C'$.

Пусть точки A, B, и C лежат на прямой $l$, а их ортогональные проекции A', B', и C' — на прямой $m$. Длина проекции отрезка на прямую равна произведению длины отрезка на модуль косинуса угла между прямой, содержащей отрезок, и прямой проекции. Из этого следует, что отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков.

$ \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} $

Так как точки A, B, C расположены на одной прямой, возможны три варианта их взаимного расположения. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.

В этом случае длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC.

$AC = AB + BC = 5 + 10 = 15$.

При ортогональном проецировании порядок точек сохраняется, поэтому точка B' будет лежать между точками A' и C'. Следовательно, длина проекции A'C' равна сумме длин проекций A'B' и B'C'.

$A'C' = A'B' + B'C' = 12$.

Воспользуемся свойством пропорциональности длин отрезков и их проекций:

$ \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} $

Подставим известные значения длин AB и BC:

$ \frac{A'B'}{5} = \frac{B'C'}{10} $

Из этой пропорции следует, что $B'C' = 2 \cdot A'B'$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $A'B' + B'C' = 12$

2) $B'C' = 2 \cdot A'B'$

Подставим выражение для $B'C'$ из второго уравнения в первое:

$A'B' + 2 \cdot A'B' = 12$

$3 \cdot A'B' = 12$

$A'B' = \frac{12}{3} = 4$.

Теперь найдем длину $B'C'$:

$B'C' = 2 \cdot A'B' = 2 \cdot 4 = 8$.

Проверим: $A'B' + B'C' = 4 + 8 = 12$, что соответствует условию. Этот случай является возможным решением.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C.

В этом случае $BC = BA + AC$. Тогда длина отрезка AC равна:

$AC = BC - AB = 10 - 5 = 5$.

Длина проекции отрезка ($A'C'$) не может быть больше длины самого отрезка ($AC$), поскольку $A'C' = AC \cdot |\cos(\alpha)|$, а значение $|\cos(\alpha)|$ не может быть больше 1.

По условию $A'C' = 12$, а мы вычислили, что $AC = 5$. Так как $12 > 5$, этот случай невозможен.

Случай 3: Точка C лежит между точками A и B.

В этом случае $AB = AC + CB$. Тогда длина отрезка AC равна:

$AC = AB - BC = 5 - 10 = -5$.

Длина отрезка не может быть отрицательной величиной, следовательно, этот случай также невозможен.

Таким образом, единственно возможный вариант расположения точек — B находится между A и C.

Ответ: $A'B' = 4$, $B'C' = 8$.