Номер 15.9, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.9. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 15.8) изобразите ортогональную проекцию на плоскость $ACC_1$ отрезка:

а) $BB_1$;

б) $BC$;

в) $BC_1$.

15.10. --------------- SARGD

Рис. 15.8

По условию задачи дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что ее основания, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, являются равносторонними, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, боковая грань $ACC_1A_1$ является прямоугольником. Мы ищем ортогональную проекцию отрезков на плоскость этой грани, $(ACC_1)$.

Ортогональная проекция отрезка на плоскость — это отрезок, соединяющий ортогональные проекции его концов. Ортогональная проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Для решения задачи сначала найдем проекции точек $B$ и $B_1$ на плоскость $(ACC_1)$.

Пусть $M$ — середина стороны $AC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, медиана $BM$ является также и высотой, то есть $BM \perp AC$. Поскольку призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $CC_1 \perp BM$. Так как прямая $BM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $CC_1$ в плоскости $(ACC_1)$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BM \perp (ACC_1)$. Следовательно, точка $M$ — это ортогональная проекция точки $B$ на плоскость $(ACC_1)$.

Аналогично, пусть $M_1$ — середина стороны $A_1C_1$. В равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ медиана $B_1M_1$ является и высотой, то есть $B_1M_1 \perp A_1C_1$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $(A_1B_1C_1)$, значит $CC_1 \perp B_1M_1$. Таким образом, $B_1M_1 \perp (ACC_1)$, и точка $M_1$ — это ортогональная проекция точки $B_1$ на плоскость $(ACC_1)$.

Теперь рассмотрим каждый из заданных отрезков.

а) $BB_1$

Ортогональной проекцией отрезка $BB_1$ на плоскость $(ACC_1)$ является отрезок, соединяющий проекции его концов — точек $B$ и $B_1$. Как мы установили, проекцией точки $B$ является точка $M$ (середина $AC$), а проекцией точки $B_1$ является точка $M_1$ (середина $A_1C_1$). Таким образом, искомая проекция — это отрезок $MM_1$.

Ответ: отрезок $MM_1$, где $M$ — середина $AC$ и $M_1$ — середина $A_1C_1$.

б) $BC$

Проекцией конца отрезка, точки $B$, на плоскость $(ACC_1)$ является точка $M$ (середина $AC$). Точка $C$ принадлежит плоскости $(ACC_1)$, поэтому ее проекцией на эту плоскость является она сама. Следовательно, проекцией отрезка $BC$ на плоскость $(ACC_1)$ является отрезок, соединяющий точки $M$ и $C$, то есть отрезок $MC$.

Ответ: отрезок $MC$, где $M$ — середина $AC$.

в) $BC_1$

Проекцией точки $B$ на плоскость $(ACC_1)$ является точка $M$ (середина $AC$). Точка $C_1$ принадлежит плоскости $(ACC_1)$, поэтому ее проекция — это сама точка $C_1$. Таким образом, проекцией отрезка $BC_1$ на плоскость $(ACC_1)$ является отрезок, соединяющий точки $M$ и $C_1$, то есть отрезок $MC_1$.

Ответ: отрезок $MC_1$, где $M$ — середина $AC$.