Номер 15.15, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.15. Попробуйте определить понятие угла между наклонной и плоскостью.

Для того чтобы определить понятие угла между наклонной и плоскостью, необходимо последовательно ввести несколько определений и выполнить геометрическое построение.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и прямая $a$, которая пересекает эту плоскость в точке $M$. Если прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, то она называется наклонной к плоскости $\alpha$. Точка $M$ называется основанием наклонной.

Далее, чтобы определить искомый угол, выполним следующие действия:

1. Возьмем на наклонной $a$ любую точку $A$, отличную от точки пересечения $M$.

2. Из точки $A$ опустим перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$. Отрезок $AH$ называется перпендикуляром, проведенным из точки $A$ к плоскости $\alpha$, а точка $H$ — основанием перпендикуляра.

3. Соединим основание наклонной $M$ с основанием перпендикуляра $H$. Полученный отрезок $MH$ (или прямая, проходящая через эти точки) называется проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$.

В результате мы получили наклонную $AM$, перпендикуляр $AH$ и проекцию наклонной $MH$. Эти три отрезка образуют прямоугольный треугольник $\triangle AMH$, так как перпендикуляр $AH$ по определению перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через его основание $H$. Следовательно, $\angle AHM = 90^\circ$.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол, который образует наклонная со своей проекцией на эту плоскость. В нашем случае это угол $\angle AMH$.

Этот угол является наименьшим из всех возможных углов между данной наклонной и прямыми, лежащими в плоскости и проходящими через основание наклонной. Величина этого угла $\phi$ находится в пределах $0^\circ < \phi < 90^\circ$. Если угол равен $0^\circ$, то прямая лежит в плоскости. Если угол равен $90^\circ$, то прямая перпендикулярна плоскости (и в этом случае не является наклонной).

Ответ: Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее проекцией на данную плоскость.