Номер 16.3, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 16. Угол между прямой и плоскостью. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 16.3, страница 85.

Условия.

16.3. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 16.5). Найдите угол между прямой $SA$ и плоскостью $ABC$.

Рис. 16.5

Решение.

Решение 2.

Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной 1, а боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ также равны 1.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. В нашем случае, нам нужно найти угол между прямой $SA$ и плоскостью основания $ABC$.

Найдем проекцию прямой $SA$ на плоскость $ABC$. Точка $A$ уже лежит в плоскости $ABC$, поэтому ее проекция — это сама точка $A$.

Поскольку пирамида правильная, ее вершина $S$ проецируется в центр основания — точку пересечения диагоналей квадрата. Обозначим эту точку как $O$. Таким образом, $SO$ является высотой пирамиды и перпендикулярна плоскости $ABC$. Проекцией точки $S$ на плоскость $ABC$ является точка $O$.

Следовательно, проекцией наклонной $SA$ на плоскость $ABC$ является отрезок $OA$. Искомый угол — это угол между прямой $SA$ и ее проекцией $OA$, то есть угол $\angle SAO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAO$. Так как $SO \perp (ABC)$, то $SO \perp OA$, и треугольник $\triangle SAO$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SOA$.

Для нахождения угла $\angle SAO$ найдем длины сторон этого треугольника.

Из условия задачи мы знаем длину гипотенузы $SA = 1$.

Катет $OA$ является половиной диагонали квадрата $ABCD$. Найдем длину диагонали $AC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$$AC = \sqrt{2}$

Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому:$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$ мы знаем гипотенузу $SA=1$ и прилежащий к искомому углу катет $OA = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы можем найти косинус этого угла:$\cos(\angle SAO) = \frac{OA}{SA} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.