Номер 16.9, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.9. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1. Найдите синус угла между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

16.10. В правильной шестиугольной при

Пусть $\alpha$ — искомый угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Для нахождения проекции опустим перпендикуляр $AH$ из точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Так как точка $B_1$ уже лежит в плоскости $BCC_1$, то прямая $HB_1$ является проекцией прямой $AB_1$ на эту плоскость. Искомый угол $\alpha$ равен углу $\angle AB_1H$.

Треугольник $\triangle AHB_1$ является прямоугольным, так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $BCC_1$, а значит, $AH \perp HB_1$. В этом треугольнике синус искомого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $AH$ к гипотенузе $AB_1$:$ \sin(\alpha) = \frac{AH}{AB_1} $

Теперь найдем длины отрезков $AH$ и $AB_1$.

В условии сказано, что $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники со стороной 1, а боковые грани — квадраты со стороной 1.

Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$. Это квадрат со стороной 1. Отрезок $AB_1$ является его диагональю. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABB_1$:$ AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2 $Отсюда, $AB_1 = \sqrt{2}$.

Теперь найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$, то есть длину перпендикуляра $AH$.Проведем в равностороннем треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник равносторонний, $AM$ является и медианой. По определению высоты, $AM \perp BC$.Поскольку призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Значит, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, и, следовательно, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе $BB_1 \perp AM$.Так как прямая $AM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости $BCC_1$, то $AM$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1$.Следовательно, перпендикуляр $AH$ совпадает с высотой $AM$, и его длина $AH = AM$.

Длину высоты $AM$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$ можно вычислить по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$:$ AH = AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим найденные значения $AH$ и $AB_1$ в формулу для синуса угла:$ \sin(\alpha) = \frac{AH}{AB_1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$ \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{4} $