Номер 17.2, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.2. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярны плоскости:

а) $ABC$ и $BDD_1$;

б) $ACC_1$ и $BDD_1$.

а) Для доказательства перпендикулярности плоскостей $ABC$ и $BDD_1$ используется признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $ABC$ является плоскостью нижнего основания куба. Плоскость $BDD_1$ — это диагональное сечение, проходящее через диагональ основания $BD$ и боковое ребро $DD_1$.

По определению куба, его боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Математически это записывается как $DD_1 \perp (ABC)$.

Прямая $DD_1$ принадлежит плоскости $BDD_1$, так как точки $D$ и $D_1$ лежат в этой плоскости.

Таким образом, плоскость $BDD_1$ проходит через прямую $DD_1$, которая перпендикулярна плоскости $ABC$. Согласно признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $BDD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
Ответ: Плоскости $ABC$ и $BDD_1$ перпендикулярны.

б) Для доказательства перпендикулярности плоскостей $ACC_1$ и $BDD_1$ воспользуемся тем же признаком перпендикулярности двух плоскостей. Докажем, что плоскость $ACC_1$ содержит прямую, перпендикулярную плоскости $BDD_1$.

Рассмотрим прямую $AC$, которая является диагональю основания $ABCD$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $ACC_1$. Докажем, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Для того чтобы доказать перпендикулярность прямой $AC$ и плоскости $BDD_1$, нужно показать, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $BDD_1$. Возьмем прямые $BD$ и $DD_1$.

1. Основанием куба является квадрат $ABCD$. По свойству квадрата, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

2. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $AC$. Таким образом, $DD_1 \perp AC$.

Прямые $BD$ и $DD_1$ лежат в плоскости $BDD_1$ и пересекаются в точке $D$.

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) в плоскости $BDD_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Так как плоскость $ACC_1$ проходит через прямую $AC$, которая перпендикулярна плоскости $BDD_1$, то согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскости $ACC_1$ и $BDD_1$ перпендикулярны.
Ответ: Плоскости $ACC_1$ и $BDD_1$ перпендикулярны.