Номер 17.3, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите углы между плоскостями $ABC$ и $CDA_1$.

Для нахождения угла между плоскостями $(ABC)$ и $(CDA_1)$ необходимо найти угол между их нормалями или построить линейный угол соответствующего двугранного угла. Воспользуемся вторым, геометрическим методом.
1. Найдём линию пересечения плоскостей. Плоскость $(ABC)$ является плоскостью нижнего основания куба, которая также может быть обозначена как $(ABCD)$. Плоскость $(CDA_1)$ задана тремя точками $C$, $D$, и $A_1$. Очевидно, что обе плоскости содержат точки $C$ и $D$, следовательно, их линия пересечения — это прямая $CD$.
2. Построим линейный угол двугранного угла. Угол между двумя плоскостями — это угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными их линии пересечения в одной и той же точке.
В плоскости основания $(ABC)$ лежит грань $ABCD$, которая является квадратом. В квадрате смежные стороны перпендикулярны, поэтому $AD \perp CD$.
Теперь рассмотрим плоскость $(CDA_1)$. Нам нужна прямая в этой плоскости, перпендикулярная $CD$. Ребро куба $CD$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой грани: $CD \perp AD$ (так как $ABCD$ — квадрат) и $CD \perp DD_1$ (так как $CDD_1C_1$ — квадрат). Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $(ADD_1A_1)$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Прямая $A_1D$ лежит в плоскости $(ADD_1A_1)$ (а также в искомой плоскости $(CDA_1)$), следовательно, $A_1D \perp CD$.
3. Мы нашли два перпендикуляра к линии пересечения $CD$, проведенные из одной точки $D$: прямая $AD$ в плоскости $(ABC)$ и прямая $A_1D$ в плоскости $(CDA_1)$. Следовательно, угол между плоскостями равен углу между этими прямыми, то есть $\angle A_1DA$.
4. Вычислим величину этого угла. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1DA$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AD$. Таким образом, $\angle DAA_1 = 90^\circ$, и треугольник $\triangle A_1DA$ является прямоугольным.
Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, все его рёбра равны. Пусть длина ребра равна $a$. Тогда катеты прямоугольного треугольника $\triangle A_1DA$ равны: $AD = a$ и $AA_1 = a$. Это означает, что $\triangle A_1DA$ — равнобедренный прямоугольный треугольник.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны по $45^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle A_1DA = 45^\circ$.
В качестве альтернативы, можно найти тангенс угла: $\tan(\angle A_1DA) = \frac{AA_1}{AD} = \frac{a}{a} = 1$. Отсюда $\angle A_1DA = \arctan(1) = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.