Вопрос?, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 17. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - страница 89.

Условия.

Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку:
а) принадлежащую этой плоскости;
б) не принадлежащую этой плоскости?

Решение.

Решение 2.

а) принадлежащую этой плоскости

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$, принадлежащая этой плоскости ($M \in \alpha$).Согласно теореме стереометрии, через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну. Проведем через точку $M$ прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\alpha$.
По признаку перпендикулярности двух плоскостей, любая плоскость, проходящая через прямую $l$, будет перпендикулярна плоскости $\alpha$.
Через одну прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Представить это можно на примере раскрытой книги: ее переплет — это прямая $l$, а страницы — это плоскости, проходящие через нее.
Поскольку точка $M$ лежит на прямой $l$, все эти бесконечное множество плоскостей будут проходить через точку $M$.
Следовательно, через точку, принадлежащую плоскости, можно провести бесконечно много плоскостей, перпендикулярных данной.

Ответ: бесконечно много.

б) не принадлежащую этой плоскости

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$, не принадлежащая этой плоскости ($M \notin \alpha$).Докажем, что такая плоскость может быть только одна.
Существование:Из точки $M$ опустим на плоскость $\alpha$ перпендикуляр $MP$, где $P$ — основание перпендикуляра ($P \in \alpha$). По теореме, такой перпендикуляр существует и он единственен. Прямая $MP$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.В плоскости $\alpha$ проведем через точку $P$ произвольную прямую $a$.Прямые $MP$ и $a$ пересекаются и, следовательно, определяют единственную плоскость $\beta$.Так как плоскость $\beta$ проходит через прямую $MP$, перпендикулярную плоскости $\alpha$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$ также проходит через точку $M$. Таким образом, существование доказано.
Единственность:Докажем от противного. Предположим, что существует другая плоскость $\beta'$, которая также проходит через точку $M$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$.Пусть плоскости $\beta'$ и $\alpha$ пересекаются по прямой $a'$.Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если из точки $M$, принадлежащей плоскости $\beta'$, провести перпендикуляр к линии их пересечения $a'$, то этот перпендикуляр будет также перпендикулярен и всей плоскости $\alpha$.Проведем в плоскости $\beta'$ из точки $M$ перпендикуляр $MK$ к прямой $a'$ ($K \in a'$). Тогда $MK \perp \alpha$.Получается, что из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены два перпендикуляра: $MP$ и $MK$. Но по теореме о перпендикуляре из точки к плоскости, такой перпендикуляр может быть только один.Следовательно, перпендикуляры $MP$ и $MK$ должны совпадать, а значит, точка $K$ совпадает с точкой $P$.Это означает, что любая плоскость, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная $\alpha$, должна содержать прямую $MP$. Поскольку такая плоскость однозначно определяется прямой $MP$ и линией пересечения с плоскостью $\alpha$, которая также должна проходить через точку $P$, то такая плоскость единственна.
Следовательно, через точку, не принадлежащую плоскости, можно провести только одну плоскость, перпендикулярную данной.

Ответ: одну.