Номер 17.1, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.1. Найдите двугранные углы, образованные соседними гранями куба (рис. 17.11).

Рис. 17.11

17.1. Двугранный угол — это угол между двумя пересекающимися плоскостями. Для нахождения его величины строится линейный угол: к линии пересечения плоскостей в какой-либо её точке восстанавливаются перпендикуляры в каждой из плоскостей. Угол между этими перпендикулярами и есть искомый линейный угол, который по величине равен двугранному углу.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, который показан на рисунке. Возьмём две любые соседние (смежные) грани, например, нижнюю грань $ABCD$ и переднюю грань $ABB_1A_1$.

1. Линией пересечения этих граней (плоскостей) является ребро $AB$.

2. В плоскости грани $ABCD$ выберем прямую, перпендикулярную ребру $AB$ и проходящую через точку $A$. Так как все грани куба — квадраты, то ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$. Таким образом, у нас есть перпендикуляр $AD$ к линии пересечения $AB$ в плоскости $ABCD$. ($AD \perp AB$).

3. В плоскости грани $ABB_1A_1$ выберем прямую, перпендикулярную ребру $AB$ и проходящую через ту же точку $A$. Так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат, то ребро $A_1A$ перпендикулярно ребру $AB$. Таким образом, у нас есть перпендикуляр $A_1A$ к линии пересечения $AB$ в плоскости $ABB_1A_1$. ($A_1A \perp AB$).

4. Угол между построенными перпендикулярами $AD$ и $A_1A$, то есть угол $\angle A_1AD$, является линейным углом двугранного угла между гранями $ABCD$ и $ABB_1A_1$.

5. По определению куба, его боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости $ABCD$. Следовательно, ребро $A_1A$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$, включая прямую $AD$. Таким образом, $A_1A \perp AD$.

6. Из этого следует, что угол $\angle A_1AD$ является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Поскольку куб — это правильный многогранник, все его двугранные углы равны. Следовательно, двугранный угол, образованный любыми двумя соседними гранями куба, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.