Номер 16.11, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.11. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ все ребра равны 1 (рис. 16.9). Найдите косинус угла между прямой $SA$ и плоскостью $ABC$.

Рис. 16.9

По условию, в правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны 1. Это означает, что основание ABC является равносторонним треугольником со стороной 1, а боковые ребра SA, SB, SC также равны 1.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти угол между прямой SA и плоскостью основания ABC.

Для нахождения этого угла построим проекцию прямой SA на плоскость ABC. Точка A уже лежит в плоскости ABC, поэтому ее проекция — это сама точка A. Чтобы найти проекцию прямой SA, нужно опустить перпендикуляр из точки S на плоскость ABC.

Поскольку пирамида SABC правильная, вершина S проецируется в центр основания — точку O. Точка O является центром описанной и вписанной окружностей равностороннего треугольника ABC, а также точкой пересечения его медиан, биссектрис и высот.

Таким образом, SO — перпендикуляр к плоскости ABC, а прямая AO — проекция прямой SA на плоскость ABC. Искомый угол — это угол между прямой SA и её проекцией AO, то есть угол $\angle SAO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAO$. Так как $SO \perp (ABC)$, то $SO \perp AO$. Следовательно, треугольник $\triangle SAO$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SOA$.

Косинус угла $\angle SAO$ в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета AO к гипотенузе SA: $ \cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} $

По условию, длина бокового ребра $SA = 1$.

Найдем длину отрезка AO. AO — это радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC. Радиус R описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Так как сторона основания $AB = BC = CA = a = 1$, то $ AO = R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Теперь можем вычислить косинус искомого угла: $ \cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $